网络流模型整理·改
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似乎自己之前整理过一点点网络流的东西
但是最近看了几道题目之后发现自己还是太菜了
那么让我们继续整理吧！下面是我目前所学,不定期更新！
通用科技
拆点
如果对于点有一定的限制，或者我们的问题中还涉及了时间，
我们可以考虑拆点来解决,比如某个点的经过次数,或者时间的分层图,
或者把1个点拆成n个,用最小割来表示选择……都可以通过拆点连边来表示限制条件.
放缩
精度要求不高的实数流可以通过放缩的方式计算,即乘以大倍率再除去
黑白染色
见到棋盘先来一套黑白染色冷静一下就好了
棋盘题千万不要忘记黑白染色！
数据结构优化建图
似乎2-sat也可以这么玩
举个最简单的例子：如果我们的边是对某个区间里面的每个点都要联边，
我们就可以建个线段树，向对应区间联边，线段树节点之间再联边，
这样就可以让边数从$n^{2}$变成$nlogn$
前后缀优化建图
似乎2-sat也可以这么玩
在某些情况下，可能一系列元素中只能选取一个
那在2-sat里面，点从“x为真/假”变成了“前x个为真/假”
网络流里面也可以类似进行操作，
我们就不用从这个点向每个点都联边了，一串inf连下去即可
inf边/反向inf边
这个多见于最小割/最大权闭合子图中
我们的inf边可以代表“两者只能选择一个”，即割掉两者中的一个，
或者“选择a必须选择b”，然后用到最大权闭合子图里面
费用递增
如果对于某条边，其费用是关于流量的一个函数，并且满足他斜率是单调增加的，我们就可以拆边，第x条费用设为$f(x)-f(x-1)$
这样由于我们跑最小费用，每次就会找最小的，流了x时就能正好计算了对应的f(x)
合并
似乎一个不错的建模方法是先建个暴力图，然后看看能不能减少其中的点来优化我们的图
规律1. 如果几个结点的流量的来源完全相同，则可以把它们合并成一个。
规律2. 如果几个结点的流量的去向完全相同，则可以把它们合并成一个。
规律3. 如果从点u到点v有一条容量为∞的边，并且点v除了点u以外没有别的流量来源，则可以把这两个结点合并成一个。
平面图转对偶图
这个……我不是很会
平面图的最小割就对应了对偶图的最短路
转对偶一般使用对象还是网格图，或者有特殊结构的图（看题），
总之要求可以很容易的给每个联通块编号，并且能用什么东西代表它
一开始我以为这东西就是个狼抓兔子
最后发现事情不太对……平面图转对偶图不仅仅这么简单
由于最短路的复杂度一般是比网络流优秀的
所以……如果一张图可以转对偶，原来的解法边点又很多，那么我们不妨试试转对偶
Hall定理
？？？？？？
不会！留坑待填！
回路限制
这种题之前见过两道，都是非常裸的那种
一般都是说“要用回路覆盖整个网络”，然后我们限制每个点度数必须为2
可是……今天见了个新题
如果每个点可以选进回路可以不选，每种连边方式有权值，然后要求最大权呢？
怎么感觉这两个都这么像插头DP啊23333
考虑使用费用流，我们当然先黑白染色
然后……我们可以把回路原来的边确定一个方向，比如说纵向边必须黑连白，横向必须白连黑
这样我们把每个点拆为2点x1和x2，连$S-->x1-->x2-->T$，流量为1费用为0
这条x1-->x2的边代表不选
然后我们把原图中有向边对应的x1连向y2，流量1,费用为对应费用
这样如果有一个x1-->y2被流了，x2和y1就都需要另外一个来流它
由于我们跑的费用流的前提是最大流，因此这样我们求出来的解不会存在某个点度数不合法的情况
这样很是妙啊……考场上没有想到拆点处理
最大流
有关题目:
bzoj1711 bzoj1458 bzoj3993
bzoj2095最大流求混合图欧拉回路
这个问题的做法算一个小idea：我们可以用流量来表示“需求量/改变量”等值，
然后通过是否满流来判是否存在合法分配方案
最小割
似乎首先我们需要一些定理……
最大流最小割定理
也就是说一张图最大流等于最小割。
感性理解一下的话……你想，最大流是小于等于割的……
你一个最大流拍上去，S到T就已经不存在通路了……
最小割唯一性定理
我们需要考虑两个东西：一条边可不可能在最小割中，和一条边一不一定在最小割中
在你跑完一遍最小割之后，在割集上的边是一定满流的
我们给残量网络跑tarjan缩点，如果一条边可能在最小割中，那么它的两端点不在同一个联通块里；
如果一条边一定在最小割中，那么其（原图上）的起点会和S在一个联通块里，终点会和T在一个联通块里。
经典用法
最常见的模型是“每个决策有多种选择，我们选择其中的一个”这种问题
最小割中的“割掉”就代表了“选择/不选择”
这个代表选择还是不选择看你最后要最大还是最小……
如果要最大，我们一开始先累加sum，再减去最小割
因为建图之后如果有流量就证明存在冲突，
没有流量的时候我们就用最小的代价消除了所有的冲突
如果我们要最小，那就直接流，割掉的就是选择的
但有的时候也可能会出现有三种或者更多种情况，我们只能选择其中之一
这也好说：我们建一串点，这里面最小的一个就会被割掉
文理分科模型
如果点对之间的贡献不仅仅是点权，还有些附加条件(同时选，同时不选，一个选一个不选，blabla……)
我们手动构造一下，由于“ 最小割中的“割掉”就代表了“选择” ”
我们就讨论一下所有选择情况，使对应情况下被割掉的边流量之和等于权值
这似乎被称作“文理分科模型”
距离限制模型
这是一种经典模型……因Hnoi的切糕一题得名“切糕模型”
我们会有每个元素有多种选择，相邻两个元素之间的选择会相互限制。
比如切糕一题限制相邻两个点选择元素的下标不超过D
这时，我们从每个下标x向下标x-D连一条inf的边
如果相邻两个元素的距离超过D，那么必然会由于inf边的存在而存在其他通路，
导致我们割掉权值更大的边
但是切糕模型不仅仅可以这样用
比如ctst2009的移民站选址，这题的模型就非常不错
被称为切糕改23333
现在相当于每个点有m种选择，每种选择有花费，
但是不同点(比如i,j)的不同选择还会产生选择的标号差($|pi-pj|$)*特定常数($b(i,j)$)的花费
这样我们把任意两个点的相同选择之间加上一条$b(i,j)$的双向边，
如果i割掉了pi，j割掉了pj，那么这俩之间会出现$|pi-pj|$条流量为$b(i,j)$的边
如果最终选择就是pi和pj，那么这$|pi-pj$|条边都会满流
这样就满足了题给模型
这样的确是很666的，我们通过利用最小割的性质(不存在通路)，
并且利用题给条件的特点(pi-pj)来考虑一种建模的改造：为限制距离的边加上权值
总之挺神的……这题也不知道出题人怎么想出来的
还有一种情况：和最短路有关的选择问题：即每个点到1最短路长度不同不同有不同收益
这样的话，我们就把距离限制看成边，对于原图边$u->v$,我们转化为限制$|d_{u}-d{v}|<=1$
然后开始跑就行了
再来一个小问题：如果现在在网格图上，不是限制相邻两个的差不超过定值，而是限制和不超过定值呢？
那么我们黑白染色，黑点建决策链从1到n,白点从n到1，这样的话就可以用之前差的连边方式处理和了。
如何选择最大的元素:
把原来的权值x变成maxn-x，maxn为一个大于全部x的值，
这样割掉的最小边就是原来的最大值了，然后就可以了。这样建图的确很巧。
如何处理损耗
把一开始的流量设置为收益+损耗，累加的时候只加收益
这样的话，我们如果最后的决策是损耗，答案就会贡献“收益-（收益+损耗）”= -损耗
有关题目
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bzoj1001 bzoj1797 bzoj3144 bzoj3218
bzoj1497 bzoj3996 bzoj2756 bzoj2127
bzoj2039 bzoj3774
---waiting---
bzoj4519 bzoj4435 bzoj2229 bzoj3681
codeforces793G bzoj4957
最大权闭合子图
经典模型
最常见的最大权闭合子图只是在最小割的基础上用inf边添加一些限制条件即可
有的时候，最大权闭合子图做着做着会变成最小割
也就是说，如果我们现在不是说“选x必须选y”，
而是“我们可以选z之后选y，也可以选x之后选y”
概括的说就是当我们用最大权闭合子图处理“或“的条件的时候
朴素的做法行不通了
这时候，我们可以考虑所有可能的情况，然后把他们串到一起跑最小割。
并且串到一起的顺序也是有讲究的……不能串乱了
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bzoj1565 bzoj4873 bzoj4501 bzoj3438
bzoj3232
费用流
序列限制问题:
(据说这些都是用线性规划推出来的......我并不会)
模型之一是k覆盖问题,给出一些带权区间,权值为a要求选出一部分使得每个数最多被k个区间覆盖并且所选区间权值和最大
先把序列用流量为k的边串起来(S->1->2->3.......->n->T这样),这样限制了经过次数k
接着为了选权值最大,我们由每个区间的左端点l向右端点右侧(r+1)连流量为1,权值为ai,然后跑一个最大费用最大流即可
由于我们跑的费用流建立在最大流的基础上,因此每个点被覆盖的次数不会超过k次,否则就会在后续增广时反悔
还有一个相似的模型是每个点有权值a,每个长度为m的区间最多能选k个,要求所选点权最大
同样把序列串起来,然后对于每个点i向它后方第m+1个点连流量为1,费用为ai的边,同样跑一个最大费用最大流
感性理解和上面那种建模类似,但是具体证明需要线性规划的知识......
好吧我在这里写了写不用线性规划的理解方式……想看可以看一看
其实这种模型可以概括为一类”核糖体+tRNA“模型（名字我自己起的233）
也就是说，那个长度为m的区间就是移动的核糖体，我们从原点放出来k个tRNA（流量），
然后对于每一个长度为m的操作区间，每个tRNA都只能操作一次
这个操作的体现就是流经我们上面加的那个跳跃的边……然后他会跳到m个单位长度之后，那是第一个不包含它的区间
然后在下面我们连一溜点，流量体现了我们对”不进行操作“的限制，即限制一段区间只能有一些tRNA不进行操作
也就是说 我们通过下面的流量逼着tRNA去走上面的边
然后大概就可以了，这样我们就能跑出来对应的限制
当然，如果我们用线性规划的话，我们可以用把等式差分的方法来解决，不在这里讨论了。
有关题目
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bzoj1877 bzoj2548 bzoj3876 bzoj2324
bzoj2055 bzoj1070 bzoj4514 bzoj3171
bzoj2879 bzoj3550 bzoj1283 codechef_SEP12_PARADE
上下界
不用说话，自己体会：http://www.cnblogs.com/liu-runda/p/6262832.html
有关题目
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bzoj3876 bzoj2055 bzoj2502 bzoj4200 bzoj4213
线性规划与网络流
经典模型
线性规划在网络流问题中的应用很是广泛,
因为网络流问题可以把每个点/每条边的流入流出量看作变量,把最终答案看作目标函数来解决.
这一部分的知识属于根本性的解决问题方法,掌握这种建模技巧肯定比背建模套路管用
现在我暂时没有时间去学习这方面的知识......联赛之后这个坑一定要补上的.
我回来补坑了
线性规划和网络流的使用和上下界其实长得差不多……
我们考虑，设$x_{i}$为每个变量是否选择，那么大概会有一串柿子像这样：
$\sum x_{j}>=A_{i}$
首先我们转成等式……
$\sum x_{j}==y_{i}+A_{i}$
我们加入2个等式$0==0$把这些等式差分
$\sum x_{j}-\sum x_{k}==y_{i}+A_{i}-y_{i+1}-A_{i+1}$
$\sum x_{j}-\sum x_{k}+y_{i+1}-y_{i}+A_{i+1}-A_{i}==0$
然后……这个柿子的本质是流量平衡，减(-)代表流出，加(+)代表流入
我们发现这个东西就是一堆常数项加上一堆变量对吧
然后对于所有的元素 我们都满足一个原则：入正出负
如果两个柿子有相同的变量，那么从负的那个(出)向正的那个(入)连边(辅助变量也算，连inf)
然后如果一个常量x是正的，就由s向它连x;否则它向t连-x
现在我们相当于要求一个可行流
对于常量，我们建立附加源点和汇点，依然遵循入正出负连边
有一种不用动脑子的记忆方法是移项到每个前面都是正的，然后一侧有变量代表出边，一侧代表入边
然后对于附加源汇跑你想跑的流………
上面费用流那个序列限制建模也可以用线性规划来理解
有关题目
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bzoj1061 bzoj4842
不清楚分类的题目：
bzoj2095 bzoj4213 bzoj4067
loj6045 loj2006 loj536 bzoj2229
uoj217 uoj168 uoj77 bzoj2597
