数据依赖公理系统

一、数据库闭包

　　由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。

　　例：   设有关系模式R(U，F)，其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算(AE)⁺

        解:  (1) 令X={AE}，X(0)=AE，将F中的所有依赖右边化为单一元素

              (2)在F中寻找尚未使用过的左边是A,E或AE的函数依赖，结果是: A→D， E→C；所以 X(1)=X(0)DC=ACDE， 显然 X(1)≠X(0).

              (3) 在F中寻找尚未使用过的左边是ACDE的子集的函数依赖， 结果是: CD→I；所以 X(2)=X(1)I=ACDEI。虽然X（2）≠X(1)，但F中寻找尚未使用过函数依赖的左边已经没有X（2）的子集，所以不必再计算下去，即(AE)⁺=ACDEI。 故AE的闭包为ACDEI，不包含所有的属性集合，

　　　　 例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}

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二、候选码　　

　　对于给定的关系R（A1，A2，…An）和函数依赖集F，可将其属性分为4类：

　　　　L类  仅出现在函数依赖左部的属性。

　　　　R 类  仅出现在函数依赖右部的属性。

　　　　N 类  在函数依赖左右两边均未出现的属性。

　　　　LR类  在函数依赖左右两边均出现的属性。

　　定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。

　　推论：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，且X⁺包含了R的全部属性；则X必为R的唯一候选码。

　　具体的步骤：

　　（1）将R 的所有属性分为L、R、LR 和N 四类，并令X 代表L、N 类，Y 代表LR 类。 R类只在右边出现，一定不为候选码
　　（2）根据L类，求X+。若X+包含了R 的全部属性，则即为R 的唯一候选码，转（5）；否则，转（3）。

　　（3）候选码可能的组合有L+LR中的任何一个；在Y 中取一属性A，求（XA）+ ，若它包含了R 的全部属性，则是候选码，转（4）；否则，调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有Y 中的属性。 
　　（4）如果已找出所有候选码，则转（5）；否则在Y 中依次取2 个、3 个、…，求它们的属性闭包，若其闭包包含R 的全部属性，则是候选码。 

　　（5）结束。

　　例1：R<U,F>,U=(A,B,C,D,E,G),F={AB-->C,CD-->E,E-->A.A-->G},求候选码。

　　因G只在右边出现,所以G一定不属于候选码;而B,D只在左边出现,所以B,D一定属于候选码;BD的闭包还是BD,则对BD进行组合,除了G以外,BD可以跟A,C,E进行组合
  　　先看ABD
  　　ABD本身自包ABD,而AB-->C,CD-->E,A-->G,所以ABD的闭包为ABDCEG=U
  　　再看BDC
  　　CD-->E,E-->A,A-->G,BDC本身自包,所以BDC的闭包为BDCEAG=U
  　　最后看BDE
  　　E-->A,A-->G,AB-->C,BDE本身自包,所以BDE的闭包为BDEAGC=U

  因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE

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三、最小依赖集或最小覆盖

　　1.将F中的所有依赖右边化为单一元素

　　2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.

 　　如：X={AE}->Y

       ①找到左边A,E或AE的函数依赖，循环遍历求X的闭包，如果(x)+中最终包含Y，则X->Y为冗余函数依赖，删除部分函数依赖X->Y。（即x的闭包中包含Y则冗余）

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四、最高规范化程度

　　1.1NF--存在部分依赖

　　2.2NF--完全依赖、存在传递依赖A->B B->C A->C（基本可消除插入异常）

　　3.3NF--完全依赖、没有传递依赖 (保持函数依赖，最高可以达到3NF)（属性全部是主属性，则R的最低范式3NF）（仍然存在一定的插入和删除异常）

　　4.BCNF--每一个表中只有一个候选码（全码组成的关系模式，最高可以达到BCNF）

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五、判断无损连接

　　

方法一：无损连接定理

关系模式R(U，F)的一个分解，ρ={R₁<U₁,F₁>,R₂<U₂,F₂>}具有无损连接的充分必要条件是：

U₁∩U₂→U₁-U₂ €F⁺ 或U₁∩U₂→U2 -U1€F⁺

方法二：算法

ρ={R₁<U₁,F₁>,R₂<U₂,F₂>,...,R_k<U_k,F_k>}是关系模式R<U,F>的一个分解，U={A₁,A₂,...,A_n}，F={FD₁,FD₂,...,FD_p}，并设F是一个最小依赖集，记FD_i为X_i→A_lj，其步骤如下：

① 建立一张n列k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性A_j U_i，则在j列i行上真上a_j，否则填上b_ij；

② 对于每一个FD_i做如下操作：找到X_i所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中l_i列的元素，若其中有a_j，则全部改为a_j，否则全部改为b_mli，m是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a₁,a₂,...,a_n，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

对F中p个FD逐一进行一次这样的处理，称为对F的一次扫描。

③ 比较扫描前后，表有无变化，如有变化，则返回第② 步，否则算法终止。如果发生循环，那么前次扫描至少应使该表减少一个符号，表中符号有限，因此，循环必然终止。

举例1：已知R<U,F>，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：

① ρ₁={AB,BC}

② ρ₂={AB,AC}

判断这两个分解是否具有无损连接性。

①因为AB∩BC=B，AB-BC=A，BC-AB=C

所以B→A ¢F⁺，B→C ¢ F⁺

故ρ₁是有损连接。

② 因为AB∩AC=A，AB-AC=B，AC-AB=C

所以A→B €F⁺，A→C ¢F⁺

故ρ₂是无损连接。

举例2：已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R₁(AD)，R₂(AB)，R₃(BE)，R₄(CDE)，R₅(AE)，判断这个分解是否具有无损连接性。

 ① 构造一个初始的二维表，若“属性”属于“模式”中的属性，则填a_j，否则填b_ij

② 根据A→C，对上表进行处理，由于属性列A上第1、2、5行相同均为a₁，所以将属性列C上的b₁₃、b₂₃、b₅₃改为同一个符号b₁₃（取行号最小值）。

③ 根据B→C，对上表进行处理，由于属性列B上第2、3行相同均为a₂，所以将属性列C上的b₁₃、b₃₃改为同一个符号b₁₃（取行号最小值）。

④ 根据C→D，对上表进行处理，由于属性列C上第1、2、3、5行相同均为b₁₃，所以将属性列D上的值均改为同一个符号a₄。

⑤ 根据DE→C，对上表进行处理，由于属性列DE上第3、4、5行相同均为a₄a₅，所以将属性列C上的值均改为同一个符号a₃。

⑥ 根据CE→A，对上表进行处理，由于属性列CE上第3、4、5行相同均为a₃a₅，所以将属性列A上的值均改为同一个符号a₁。

⑦ 通过上述的修改，使第三行成为a₁a₂a₃a₄a₅，则算法终止。且分解具有无损连接性。

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