[笔记]扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法
"那时候真好"
今天刚刚学了扩展欧几里德算法,让我很兴奋!于是我开始做同余方程,因此,我又被wyx卷了一顿!
emm,题意就是$ ax\equiv 1\pmod{b}$求x的最小整数解。由此可以得到 \(ax\bmod b =1\)(因为\(1 \bmod b=1\))即\(ax+by=1\)于是可以用扩展欧几里德来做了!
下列是证明
证明:
原式: \(ax+by=gcd(a,b)\)(假设\(a≥b\))
- \(b=0\),有\(gcd(a,b)=a\),此时\(x=1,y=0\)
- \(b\neq 0\),根据欧几里得定理\(gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\)可得
$ ax+by = gcd(a,b)$ $ = gcd(b,a\bmod b)$ \(=bx'+(a\bmod b)y' \)即
$ ax+by=bx'+(a\bmod b)y' =bx'+(a-b*\lfloor a/b \rfloor) y'$移项得
$ ax+by=bx'+(a\bmod b)y' =ay'+b(x'-\lfloor a/b \rfloor y')$根据恒等定理,有
\[\begin{cases} x=y'\\ y=x'- \lfloor a/b\rfloor y' \end{cases} \]这有什么用呢?
\(x'\)和\(y'\)还是不知道呀.
重新来看看我们得到的两个等式.\(x\)和\(y\)是\(gcd(a,b)=ax+by\)的解,而\(x'\)和\(y'\)是在对\(gcd(a,b)\)按欧几里德算法进行一步后的结果对应的贝祖等式(裴蜀)\(gcd(b,a\bmod b)=bx'+(a\bmod b)y'\)的解.
也就是说,\(gcd(a,b)\)对应的贝祖等式的解\(x\),\(y\)可以由\(gcd(b,a\bmod b)\)对应等式的解\(x'\),\(y'\)计算得出
由于欧几里德算法最后一步为\(gcd(d,0)=d\),此时对应的等式的解为\(x=1\),\(y=0\),因此只要如上述代码,从\(gcd(d,0)\)往前处理,
在进行欧几里德算法的递归的时候根据相邻两次调用间\(x\),\(y\)和\(x'\),\(y'\)的关系计算即可求出\(ax+by=gcd(a,b)\)的解.
更进一步,对于任意不定式\(ax'+by'=c\),只需要在等式\(ax+by=gcd(a,b)=d\)两边乘上\(c/d\)即可得到解为$ x'=x\cdot c/d,y'=y\cdot c/d $
如何得到所有解?
实际上在之前的计算和证明中我们得到的只是不定方程的一组解,那么怎样得到所有解呢?对于一般形式\(ax+by=c\)有通解
\(x=p+kb,y=q-ka (k\in Z)\)
.(证明略,只要代入一下就知道为什么通解是这个了
上述证明出自扩展欧几里德算法(附证明)
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int t, x, y;
int exgcd(int a, int b){
if(b == 0){
x = 1;
y = 0;
return x;
}else{
exgcd(b, a % b);
t = x;
x = y;
y = t - (a / b) * y;
}
return x;
}
int main() {
int a, b;
cin>>a>>b;
int ans = (exgcd(a, b) + b) % b;//可能出现负数,这个操作就是都加上b,如果是负数,那么就会变正,若为正数,因为%b,所以又会变回去。
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
2018-05-24 20:13:58 初稿
2018-08-16 12:10 修订
感觉之前也是囫囵吞枣的学习,系统复习后发现了很多错误