USACO 2017 February Contest Gold T2: Why Did the Cow Cross the Road II

题目大意

给你两条由n个点组成的一条直链，点带有点权且每条直链的点权为1-n的排列，你可以随意设置每个链中点排列的顺序，现在要求你在两个链中连线

两个点能连线需满足：

1. 在不同的链上

2. 不与前面的线交叉

3. 点权差值小于等于4

4. 一个点只能连一条线

求最大可能连线数

题目分析

对于该题，显然有一种 O(N²) 的DP。

令 f[i][j] 为第一行看到第 i 个，第二行看到第 j 个的方案数，则转移方程为

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1], f[i-1][j-1] + 1( if |a_i-b_j| <= 4 ) ) 

显然，这个复杂度仅仅可以过金组，在铂金是不行的，考虑优化。

观察到 dp值会增加当且仅当 |a_i-b_j| <= 4。所以对于第一行的每个数，我们不必要从头枚举，我们这只需要关注与它大小相差4以内的数即可。

这样处理的话，可以用树状数组优化，做到 O(N log^N) ,在输入上有个小Trick。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;

int n;
int a[MAXN],b[MAXN],f[MAXN];

int BIT[MAXN];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void Update(int x,int v){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) BIT[i]=max(BIT[i],v);}
inline int Query(int x){int res=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res=max(res,BIT[i]);return res;}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1,x;i<=n;++i){
        scanf("%d",&x);
        b[x]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=max(1,a[i]-4);j<=min(n,a[i]+4);++j) f[j]=Query(b[j]-1);
        for(int j=max(1,a[i]-4);j<=min(n,a[i]+4);++j) Update(b[j],f[j]+1);
    }
    printf("%d\n",Query(n));
    return 0;
}