浅谈2-SAT（待续）

2-SAT问题，其实是一个逻辑互斥问题。
做了两道裸题之后仔细想来，和小时候做过的“有两个女生，如果A是女生，那么B一定不是女生。A和C性别相同，求A、B、C三人的性别。”几乎是一样的。

对于这道题我们来分析一下。
“如果A是女生，那么B一定不是女生”——A和B性别相反，假设“A为女生”为true，那么“B为女生”必定为false，于是一定有“B为男生”为true【注意是一定】。
对于这句话同理可得，假设“B为女生”为true，那么“A为男生”必定为true。
“A和C性别相同”——假设“A为女生”为true，那么“C为女生”必定为true； 假设“A为男生”为true，那么“C为男生”必定为true。
这道题的逻辑关系十分简单，我们可以肉眼看出答案，然而对于一些逻辑关系成千上万达到1E6数量的我们不能直观看出，所以针对比较复杂的情况，人力想出了列表的方法。

      | A | B | C
——————————
女   |    |    |
——————————
男   |    |    |

之后对于随机选择一个格子进行假设保证不出现互斥的情况。

如何实现的？比如我在"A男"这一格打了勾，那么必定会在“B女”，“C男”打勾，发现不满足题意，再令A为女生重新打勾。

 

下面讨论2-SAT的算法。
先说一些概念：
一个命题：若P则Q。
它的逆否命题：若非Q则非P。
这两个是等价的（大多2-SAT图是对称的，一些不对称的图指定了某个条件的真假性）

一些“不同时为真”、“不同时为假”的逻辑关系都可以化成“若P则Q”的形式（“不同时为真”：若A为真则B为假，及其逆否命题 若B为真则A为假；若B为假则A为真，及其逆否命题 若A为假则B为真）

对于“若P则Q”，我们从P出发，连一条边到Q，代表P如果为真Q一定为真。对于所有这样的逻辑关系都建立这样的逻辑边，之后选取一个节点进行假设赋值，如果这个点无论真假都不满足条件，该问题就无解。

然后解题顺序：
1.建图(把每个点拆成点A 2*i 和点B2*i+1，对于每个点A和B必定有且仅有一个为真)
2.跑2-SAT

下面放代码模板

 

 1 void _clean(){
 2 
 3     for(int i=2;i<=n*2+1;i++){
 4     g[i].clear();
 5     mark[i]=false;
 6     }
 7 }
 8 
 9 bool _dfs(int u){
10 
11     if(mark[u^1])return false;//如果该点的对立面为真，该点必定为假
12     if(mark[u])return true;//如果该点之前扫过，为真，那么直接返回
13     mark[u]=true;//如果这个点没讨论过（A/B两点均没赋值），那么把该点赋为真
14     stk[++top]=u;//进栈，这个我还没能理解，不过最后满栈应该是top==n，栈里的都为真
15     for(int i=0;i<g[u].size();i++)
16     if(!_dfs(g[u][i]))return false;//该点为真，那么和这个点相连的每个点全必须为真，否则返回false
17     return true;
18 }
19 
20 bool _Twosat(){
21     
22     _clean();
23     top=0;
24     for(int i=2;i<=n*2+1;i+=2)
25     if(!mark[i+1] && !mark[i]){//如果该点没讨论过
26         top=0;
27         if(!_dfs(i)){假设A点为真失败
28         while(top)
29             mark[stk[top--]]=false;//栈里元素全出栈，并赋值为假
30         if(!_dfs(i+1))return false;//如果假设B点为真也失败，那么无解。
31         }
32         }
33     return true;
34 }

 

 

补充：

1、2-SAT问题就是一个“不能同时为真”、“若满足状态1就必定满足状态2”的逻辑问题。这一类问题的特点大多是对于每个对象可以等价成两种互斥状态。

2、大多的2-SAT问题是对称的，即满足p->q，就一定满足-q->-p（逆否命题的互推），但也有个别例外，就是比如有一个对象与2-sat图的其他对象关联，但是题目已经决定了这个对象必须是某一个状态（不能自我假设了，这个时候可以对于这个点跑一个裸的dfs，一会儿我会讲到例题）

 

下边讲几道2-SAT的题目（都只讲建图不放代码了）

1、

Now or later（UVALive - 3211 ）

另一篇博文里有详细题解：http://www.cnblogs.com/L-Excalibur/p/8513386.html

 

2、

Astronauts（UVALive - 3713）

题目链接：https://cn.vjudge.net/contest/209473#problem/K

题目大意：有一堆宇航员要去完成任务，A任务非常伟大，只有能力值大于等于平均能力值的人才能完成，B任务是普通任务，只有能力值低于平均能力值的人才会去完成，C任务不限制条件，所有能力值的人都可以做。但是这堆宇航员互相有一些憎恨关系，如果两个宇航员互相憎恨，那么就不能给他们分配同一个任务，给出一个合理方案，如果没有合理方案输出no solution。

解题思路：每个能力值大于等于平均值的人（以下简称第一类人）划分为两种状态a.选择任务A，b.选择任务C；能力值小于平均值（第二类人）划分为两种状态a.选择任务B，b.选择任务C。如果第一类人或第二类人有内部矛盾，那么如果其中一个为状态a，另一个一定为状态b（对称建图，不能同时为a和b，共四条）。如果第一类人和第二类人有矛盾，那么不能同时为b，一个为b另一个一定为a。

 

posted @ 2018-03-04 15:41  落雨。  阅读(1325)  评论(1)  编辑  收藏  举报