图论笔记-最短路+二分图最大匹配+最小路径覆盖

一  最短路

 

模型一 增加限制

例：给定一个图，求起点到终点的最短路，其中你可以使用最多k次机会使某条边的边权变为x。

解法：把每个点拆成k个点，分别表示还能使用多少次机会，构造新图。

 

 

模型二 一个点集（点非常多，不能两两建边）之间两两可到达，求最短路。

解法：新开一个点，每个点都连一条无向边到新点。

 

二  二分图最大匹配

 

二分图最大匹配 = 最小点覆盖 = n-最大点独立集 = n-最小边覆盖

 

最小点覆盖：选取最少的点覆盖所有的边

最大点独立集：一个点集，其中的点两两不可到达。

 

大致证明：

最大匹配=最小点覆盖：如果还能匹配，那就证明还有边没被覆盖。

最小点覆盖=n-最大点独立集：如果独立集可以增大k，那就证明有k个点间两两没边，那最小点覆盖就可以删去这k个点。N个点，去掉最小点覆盖的，剩下的两两没边，就是最大点独立集。

最小边覆盖=n-最大匹配：本来是n条边（每个点要被一条边覆盖），每匹配一对，就相当于减少了一条边。

 

三  最小路径覆盖（有向无环图）

（1）每个点有且只有被一条路径覆盖。

 

解法：把n个点拆成2n个点，变成二分图建边，然后 最小路径覆盖 = n-二分图最大匹配

原因：本来是n条路径（每个点作为一条路径），每匹配一对，就相当于减少了一条路径。因为是二分图匹配，所以每个点只会在一条路径上。

 

（2）每个点可被多条路径覆盖。

解法一：在原图中用一次floyd，则上图新建了边（1，5）（2，4）（2，5），再把它当成每个点只能陪一条路径覆盖来做。因为路径2->3->4与路径1->3->5相当于2->3->4与1->5，即一条覆盖了k个点的路径可以看作是覆盖了<=k个点的路径。

 

解法二：

 

用网络流（最大流）跑出最大匹配。在二分图的右边按照原图建边，边权全为正无穷，则原理跟上面一样，路径1-3-5相当于路径1-5，则跑出的最大匹配就是一个点可在多条边上的。