KMP求最小循环节讲解
KMP最小循环节、循环周期:
定理:假设S的长度为len,则S存在最小循环节,循环节的长度L为len-next[len],子串为S[0…len-next[len]-1]。
(1)如果len可以被len - next[len]整除,则表明字符串S可以完全由循环节循环组成,循环周期T=len/L。
(2)如果不能,说明还需要再添加几个字母才能补全。需要补的个数是循环个数L-len%L=L-(len-L)%L=L-next[len]%L,L=len-next[len]。
理解该定理,首先要理解next数组的含义:next[i]表示前面长度为i的子串中,前缀和后缀相等的最大长度。
如:abcdabc
index |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
char |
a |
b |
c |
d |
a |
b |
C |
|
next |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
如对于a,ab,abc,abcd,很明显,前缀和后缀相同的长度为0
对于长度为5的子串abcda,前缀的a和后缀的a相同,长度为1
对于长度为6的子串abcdab,前缀的ab和后缀的ab相同,长度为2
接下来举几个例子来说明最小循环节和循环周期:
为方便说明,先设字符串的长度为len,循环子串的长度为L
1.
s0s1s2s3s4s5 ,next[6]=3
即s0s1s2=s3s4s5
很明显可知:循环子串为s0s1s2,L=len-next[6]=3,且能被len整除。
2.
s0s1s2s3s4s5s6s7 ,next[8]=6
此时len-next[8]=2 ,即L=2
由s0s1s2s3s4s5=s2s3s4s5s6s7
可知s0s1=s2s3,s2s3=s4s5,s4s5=s6s7
显然s0s1为循环子串
3.
s0s1s2s3s4s5s6 ,next[7]=4
此时len-next[7]=3,即L=3
由s0s1s2s3=s3s4s5s6
可知s0s1=s3s4,s2s3=s5s6
从而可知s0s1s2=s3s4s5,s0=s3=s6
即如果再添加3-4%3=2个字母(s1s2),那么得到的字符串就可以由s0s1s2循环3次组成
这个定理可以这么理解:
http://www.cnblogs.com/oyking/p/3536817.html
对于一个字符串,如abcd abcd abcd,由长度为4的字符串abcd重复3次得到,那么必然有原字符串的前八位等于后八位。
也就是说,对于某个字符串S,长度为len,由长度为L的字符串s重复R次得到,当R≥2时必然有S[0..len-L-1]=S[L..len-1],字符串下标从0开始
那么对于KMP算法来说,就有next[len]=len-L。此时L肯定已经是最小的了(因为next的值是前缀和后缀相等的最大长度,即len-L是最大的,那么在len已经确定的情况下,L是最小的)。
如果一定仔细证明的话,请看下面:
(参考来自:http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/01/06/2314078.html,有所改动)
k m x j i
由上,next【i】=j,两段红色的字符串相等(两个字符串完全相等),s[k....j]==s[m....i]
设s[x...j]=s[j....i](xj=ji)
则可得,以下简写字符串表达方式
kj=kx+xj;
mi=mj+ji;
因为xj=ji,所以kx=mj,如下图所示
k m a x j i
设s[a…x]=s[x..j](ax=xj)
又由xj=ji,可知ax=xj=ji
即s[a…i]是由s[a…x]循环3次得来的。
而且看到没,此时又重复上述的模型,s[k…x]=s[m…j],可以一直递推下去
最后可以就可以递推出文章开头所说的定理了。
最后再举两个相关例子
abdabdab len:8 next[8]:5
最小循环节长度:3(即abd) 需要补的个数是1 d
ababa len:5 next[5]:3
最小循环节长度:2(即ab) 需要补的个数是1 b
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