JZOJ 5197. 【NOIP2017提高组模拟7.3】C

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十分有趣的一道题……

先证明两个式子（假设$a \gt b$）……

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$$\gcd(a,b) \le a-b$$

证：$\gcd(a,b)=\gcd(a,a-b) \le \min(a,a-b) \le a-b$

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$$a \oplus b \ge a-b$$

对于$a$和$b$的某个相对应的二进制位，如果都是$0$或者都是$1$，$a \oplus b$一定不差于$a-b$，因为$0 \oplus 0=0,1 \oplus 1=0$且$0-0=0,1-1=0$

如果一个是$1$一个是$0$，那么依然$a \oplus b$一定不差于$a-b$，因为$1 \oplus 0 = 1$且$1-0=0$，同时$0 \oplus 1 = 1$，然而$0-1=-1$会引发退位

综上，$a \oplus b \ge a-b$

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因此如果要求$\gcd(a,b)=a \oplus b$，则$\gcd(a,b)=a-b=a \oplus b$

因为$\gcd(a,b)=\gcd(a,a-b)=a-b$，所以$a$是$a-b$的倍数，所以可以枚举$a-b$，然后再枚举$a=k(a-b)$，其中$k \ge 2$

而且有$b=a-(a-b)=k(a-b)-(a-b)=(k-1)(a-b)$

之后只需要判断$k(a-b) \oplus (k-1)(a-b)=a-b$是否成立即可

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, ans;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
        for(int j = i + i ; j <= n ; j += i)
            if((j ^ (j - i)) == i)
                ++ ans;
    printf("%d\n", ans);
}