【20190628模拟赛】分组游戏

题目描述

有 $n$ 个人，要分成若干组，对于第 $i$ 个人，它所在的组的人数不能超过 $a_i$
求分组方案数模 $998244353$ 的值，其中 $n \le 2000$
组与组之间是不可区分的，每组的人也是无序的，但人与人之间是可以区分的

题解

首先按照 $a$ 从大到小排序，这样每一种划分方法一定是在最右侧是最强的限制
一个比较自然的想法就是，对于每一种划分方法，在最右侧处计数
也就是只需要记录之前有多少个集合大小为 $1$
设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个人，大小为 $1$ 的集合有 $j$ 个的方案数
那么有 $f_{i,j}=\sum_{k} f_{i-1,j+k}{j+k \choose k}$，注意在第 $i$ 个人单独成为一组时要特判
化简后可以得到卷积的形式，然后 $NTT$ 就好了
考试的电脑太菜了，用我的电脑跑 $0.6s$ 时，它跑了 $1.1s$