分治算法——最大子数组

　　表示很久没有接触算法了，好多东西真心要一点点拾掇起来，为了找份好工作，我也是蛮拼的了。

　　好吧，下来说说分治算法，因为在leetcode上刚好碰到这么个问题，想到要用分治做，但是一时又不清楚具体步骤。于是抱起《算法导论》啃起来。刚好上面的例子也是这个算法，就研读了一下。

　　假定，我们要寻找子数组A[low...high]的最大字数组，使用分治算法，其结果必定是以下三种情况中的一个：

　　1.完全位于子数组A[low...mid]中，因此low <= i <= j <= mid

　　2.完全位于子数组A[mid+1...high]中，因此mid < i <= j <= high

　　3.在mid位置的两边，包含mid位置。因此low <= i <= mid < j <= high

　　对于1和2，我们可以递归地求解，将他们子问题的结果逐层往上返回，就获得mid左右两边的最大字数组（但不包括情况3）。现在我们要做的，就是针对情况3，进行处理。

　　函数代码如下：

def cross_mid_maxsub(self,A,low,mid,high):
    left_s = float('-inf')   #当前最大值，默认负无穷
    sum = 0   #我们得到的子串的和
    for i in range(mid,low-1,-1):  #因为一定要有mid，故从mid开始
        sum += A[i]
        if sum > left_s:
            left_s = sum
            max_left = i  #记录最大子串左侧起始位置

    right_s = float('-inf')   
    sum = 0   
    for i in range(mid+1,high+1):  
        sum += A[i]
        if sum > right_s :
            right_s = sum
            max_right = i  #记录最大子串左侧起始位置
    return （max_left , max_right , left_s + right_s）

　　好了，现在3种情况都已经搞定了。下面就可以直接递归求解了。

def max_sub(self,A, low, high):
    if high == low:   #防止只有1个元素的情况
        return (low, high, A[low])
    else:
        mid = (low+high)/2
        left_low, left_high, left_s = max_sub(self, A, low, mid)   #递归求情况1
        right_low, right_high, right_s = max_sub(self, A, mid+1, high)  #递归求情况2
        cross_low, cross_high, cross_sum = cross_mid_maxsub(self, A, low, mid, high)  #递归求情况3
        if left_s >= right_s and left_s >= cross_sum:
            return left_low, left_high, left_s
        elif right_s >= left_s and right_s >= cross_sum:
            return right_low, right_high, right_s 
        else:
            return cross_low, cross_high, cross_sum

　　上面的步骤是，先递归地找出情况1的最大值，然后找出情况2的最大值，然后找出包含mid的，也就是情况3的最大值。然后比较一下，返回其中的最大值，再回溯到上一层继续求。基本的思路是这样的了。其实这还是个比较简单的算法嘛~