Polya原理学习笔记
感觉网上找不到什么非常好的关于polya原理的资料啊qaq
自己手推一边免得以后复习的时候还要在网上看半天。。。
首先要求的问题是给\(n\)个物品染\(m\)种颜色，问方案数，这答案显然是\(m^n\)，我们把所有染色的方案叫做集合\(X\)
现在有了一些变换\(G\)，问本质不同的方案数。（本质相同的定义是一个方案\(x_1\)可以通过\(G\)中的变换变成另一个\(x_2\)）
引入Orbit的定义：定义\(O_x\ =\ {y\ \in\ X\ :\ \exists\ g\ \in\ G\ such\ that\ g\ *\ x\ =\ y}\)
可以发现对于\(x,\ y\ \in\ X\)，要么\(O_x\ =\ O_y\)要么\(O_x\ \cap\ O_y\ =\ \emptyset\)
于是问题变成求共有多少个不同的Orbit
引入Stabilizer的定义：定义\(S_x\ =\ {g\ :\ g\ *\ x\ =\ x}\)
那么引入引理：\(\forall\ x\ \in\ X,\ |O_x||S_x|\ =\ |G|\)
证明：
我们称\(g_1\)和\(g_2\)是等价的当且仅当\(g_1\ *\ x\ =\ g_2\ *\ x\)
那么\(G\)中的所有元素会根据\(x\)分成\(k\)个等价类\(A_1,\ A_2,\ A_3,\ ...,\ A_k\)
然后我们考虑证明\(|A_i|\ =\ |S_x|\)
对于\(g\ \in\ A_i\)，\(h\ \in\ A_i\ \leftrightarrow\ g\ *\ x\ =\ h\ *\ x\ \leftrightarrow\ (g^-1\ *\ h)\ *\ x\ =\ x\ \leftrightarrow\ (g^-1\ *\ h)\ in\ S_x\ \leftrightarrow\ h\ \in\ g\ *\ S_x\)
又由于\(k\ =\ |O_x|\)，所以得证
设所求的Orbit数为\(\nu_{X,\ G}\)
则有\(\nu_{X,\ G}\ =\ \frac{1}{\|G\|}\ \sum_{x\ \in\ X}\ |S_x|\)
引入Fix的定义：定义\(Fix(g)\ =\ {x\ :\ g\ *\ x\ =\ x}\)
则有\(\nu_{X,\ G}\ =\ \frac{1}{|G|}\ \sum_{g\ \in\ G}\ |Fix(g)|\)
现在又有了一个新问题，要求最后颜色\(c_i\)有\(x_i\)个，有多少种本质不同的方案数。
对于\(g\ \in\ G\)，我们把它写成cycle form
定义\(ct(g)\ =\ \Pi_{i\ \geq\ 1}\ k_i^{x_i}\)，其中\(k_i\)为写成cycle form之后长度为\(i\)的cycle数
引入Cycle Index Polynomial的定义：定义\(C_G(x_1,\ x_2,\ ...,\ x_{\Delta})\ =\ \frac{1}{|G|}\ \sum_{g\ \in\ G}\ ct(g)\)
所有染色方案数就为\(C_G(\sum_{i\ =\ 1}^m\ c_i,\ \sum_{i\ =\ 1}^m\ c_i^2, \sum_{i\ =\ 1}^m\ c_i^3...,\ \sum_{i\ =\ 1}^m\ c_i^{\Delta})\)
举个例子：有\(2\times 2\)的正方形，用红蓝两种颜色染色，变换有旋转和翻转
则有
\(g\ =\ (1)(2)(3)(4),\ ct(g)\ =\ x_1^4\)
\(g\ =\ (1,\ 2,\ 3,\ 4),\ ct(g)\ =\ x_4\)
\(g\ =\ (1,\ 3)(2,\ 4),\ ct(g)\ =\ x_2^2\)
\(g\ =\ (1,\ 4,\ 3,\ 2),\ ct(g)\ =\ x_4\)
\(g\ =\ (1,\ 4)(2,\ 3),\ ct(g)\ =\ x_2^2\)
\(g\ =\ (1,\ 2)(3,\ 4),\ ct(g)\ =\ x_2^2\)
\(g\ =\ (1,\ 3)(2)(4),\ ct(g)\ =\ x_1^2x_2\)
\(g\ =\ (2,\ 4)(1)(3),\ ct(g)\ =\ x_1^2x_2\)
所以\(C_G(x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4)\ =\ \frac{1}{8}(x_1^4\ +\ 3x_2^2\ +\ 2x_1^2x_2\ +\ 2x_4)\)
我们将\(x_i\)替换为\((B^i\ +\ R^i)\)(B表示blue，R表示red)
则所有染色方案就为\(\frac{1}{8}((R\ +\ B)^4\ +\ 3(R^2\ +\ B^2)^2\ +\ 2(R\ +\ B)^2(R^2\ +\ B^2)\ +\ 2(R^4\ +\ B^4))\ =\ R^4\ +\ R^3B\ +\ 2R^2B^2\ +\ RB^3\ +\ B^4\)
