BZOJ 4557 JLOI2016 侦查守卫 树形dp
题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4557
题意概述:
给出一棵树,每个点付出代价w[i]可以控制距离和它不超过d的点,现在给出一些点,问控制这些点的最小代价是多少。
分析:
观察一下数据范围发现算算法的复杂度可能和d有关。横看竖看这像是一个树形dp,所以我们就把d搞到状态方程里面去嘛怎么就完全没有想到呢......
既然要用树形dp,就要先分析一下性质。
一个点如果被选择成为控制点,那么它可以控制的点有:子树中深度不超过d的点,祖先中和它距离不超过d的点,以及祖先的子树中的一些点。
感觉很麻烦的样子......因为对于那些祖先子树中的点控制的方向突然向上又向下了。
我们考虑到常用的技巧,在树形dp中,如果两个点会对答案产生贡献,我们在其LCA处统计贡献。于是我们设两个dp方程:
f(i,x)表示i点的子树中需要被控制的点全部被控制,还可以向上控制x层的最小代价;g(i,x)表示i点的子树中x层及以下需要被控制的点全部被控制的最小代价。
需要向上控制x层,那么儿子中就需要有点可以向上控制x +1层的点被选择,对于新来的子树j有两种情况,一个是我们需要的点在这个新的子树中,一个是我们需要的点在原来的子树中。
f(i,x)=min(f(i,x)+g(j,x),f(j,x+1)+g(i,x+1))
init:一开始把每点i当成孤点,那么向上控制1~d层就只有靠自己,f值初始化为w[i];f[i][0],g[i][0]根据这个点本身是否需要监视来判断。
但是注意答案在控制的长度恰好为x的时候不一定是最优的,可能稍微控制的长度大一点答案反而更优,于是把方程的意义改一下,改成至少控制x层。
g(i,x)=sum{g(j,x-1)|i->j},g(i,0)=f(i,0)
小技巧:怎么维护至少这个性质?和看起来更劣的状态取min即可。
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1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdlib> 5 #include<algorithm> 6 #include<cmath> 7 #include<queue> 8 #include<set> 9 #include<map> 10 #include<vector> 11 #include<cctype> 12 #define inf 1e9 13 using namespace std; 14 const int maxn=500005; 15 const int maxd=25; 16 17 int N,D,M,W[maxn]; 18 struct edge{ int to,next; }E[maxn<<1]; 19 int first[maxn],np,f[maxn][maxd],g[maxn][maxd]; 20 bool ob[maxn]; 21 22 void _scanf(int &x) 23 { 24 x=0; 25 char ch=getchar(); 26 while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); 27 while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); 28 } 29 void add_edge(int u,int v) 30 { 31 E[++np]=(edge){v,first[u]}; 32 first[u]=np; 33 } 34 void data_in() 35 { 36 _scanf(N);_scanf(D); 37 for(int i=1;i<=N;i++) _scanf(W[i]); 38 _scanf(M); 39 int x,y; 40 for(int i=1;i<=M;i++){ 41 _scanf(x); ob[x]=1; 42 } 43 for(int i=1;i<N;i++){ 44 _scanf(x);_scanf(y); 45 add_edge(x,y); add_edge(y,x); 46 } 47 } 48 void DFS(int i,int fa) 49 { 50 for(int d=1;d<=D;d++) f[i][d]=W[i]; 51 f[i][D+1]=inf; 52 if(ob[i]) f[i][0]=g[i][0]=W[i]; 53 for(int p=first[i];p;p=E[p].next){ 54 int j=E[p].to; 55 if(j==fa) continue; 56 DFS(j,i); 57 for(int d=0;d<=D;d++) 58 f[i][d]=min(f[i][d]+g[j][d],f[j][d+1]+g[i][d+1]); 59 for(int d=D;d>=0;d--) f[i][d]=min(f[i][d],f[i][d+1]); 60 g[i][0]=f[i][0]; 61 for(int d=1;d<=D;d++) g[i][d]+=g[j][d-1]; 62 for(int d=1;d<=D;d++) g[i][d]=min(g[i][d],g[i][d-1]); 63 } 64 } 65 void work() 66 { 67 DFS(1,0); 68 printf("%d\n",f[1][0]); 69 } 70 int main() 71 { 72 data_in(); 73 work(); 74 return 0; 75 }