二叉树的简单介绍以及二叉树的存储结构

二叉树的简单介绍以及二叉树的存储结构

什么是二叉树？

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点（顶层为第一层）；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点，一棵深度为k，且有2^k-1个节点称之为满二叉树；深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：

(1)空二叉树——如图(a)；

(2)只有一个根结点的二叉树——如图(b)；

(3)只有左子树——如图(c)；

(4)只有右子树——如图(d)；

(5)完全二叉树——如图(e)。

二叉树的术语：

树的结点：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；

孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子；

双亲结点：B 结点是A 结点的孩子，则A结点是B 结点的双亲；

兄弟结点：同一双亲的孩子结点； 堂兄结点：同一层上结点；

祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的所有结点子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙

结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；

树的深度：树中最大的结点层

结点的度：结点子树的个数

树的度： 树中最大的结点度。

叶子结点：也叫终端结点，是度为 0 的结点；

分枝结点：度不为0的结点；

有序树：子树有序的树，如：家族树；

无序树：不考虑子树的顺序；

二叉树的主要性质

1.一颗非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点(i>=1)。

2.一颗深度为k的二叉树中，最多具有2^k-1个结点。

3.对于一颗非空二叉树，如果叶子结点树为n0，度数为2的二叉树结点为n2,则有n0=n2+1;

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为[log₂n]+1。

二叉树的存储结构

二叉树是非线性结构，即每个数据结点至多只有一个前驱，但可以有多个后继。

它可采用顺序存储结构和链式存储结构。而链式存储结构有可以分为二叉链表存储结构、 三叉链表存储结构（带双亲指针的二叉链表存储结构）

1．顺序存储结构

    二叉树的顺序存储，就是用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。因此，必须把二叉树的所有结点安排成为一个恰当的序列，结点在这个序列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系，用编号的方法从树根起，自上层至下层，每层自左至右地给所有结点编号,缺点是有可能对存储空间造成极大的浪费，在最坏的情况下，一个深度为k且只有k个结点的右单支树需要2k-1个结点存储空间。依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系，这样既能够最大可能地节省存储空间，又可以利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。图5-5(a)是一棵完全二叉树，图5-5（b）给出的图5-5(a)所示的完全二叉树的顺序存储结构。

 (a)  一棵完全二叉树                  (b)    顺序存储结构

图5-5 完全二叉树的顺序存储示意图

    对于一般的二叉树，如果仍按从上至下和从左到右的顺序将树中的结点顺序存储在一维数组中，则数组元素下标之间的关系不能够反映二叉树中结点之间的逻辑关系，只有增添一些并不存在的空结点，使之成为一棵完全二叉树的形式，然后再用一维数组顺序存储。如图5-6给出了一棵一般二叉树改造后的完全二叉树形态和其顺序存储状态示意图。显然，这种存储对于需增加许多空结点才能将一棵二叉树改造成为一棵完全二叉树的存储时，会造成空间的大量浪费，不宜用顺序存储结构。最坏的情况是右单支树，如图5-7 所示，一棵深度为k的右单支树，只有k个结点，却需分配2k－1个存储单元。

(a) 一棵二叉树                          (b) 改造后的完全二叉树

(c) 改造后完全二叉树顺序存储状态

图5-6 一般二叉树及其顺序存储示意图

 (a) 一棵右单支二叉树      (b) 改造后的右单支树对应的完全二叉树

    (c) 单支树改造后完全二叉树的顺序存储状态

                   图5-7 右单支二叉树及其顺序存储示意图

    结构5-1二叉树的顺序存储

#define Maxsize 100     //假设一维数组最多存放100个元素
typedef char Datatype;  //假设二叉树元素的数据类型为字符
typedef struct
{ Datatype bt[Maxsize];
    int btnum;
  }Btseq;

2．二叉链式存储结构

    二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。

通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。其结点结构为：

  其中，data域存放某结点的数据信息；lchild与rchild分别存放指向左孩子和右孩子的指针，当左孩子或右孩子不存在时，相应指针域值为空（用符号∧或NULL表示）。利用这样的结点结构表示的二叉树的链式存储结构被称为二叉链表，如图5-8所示。  

(a) 一棵二叉树                           (b) 二叉链表存储结构

                  图5-8   二叉树的二叉链表表示示意图

3．三叉链表存储结构

  为了方便访问某结点的双亲，还可以给链表结点增加一个双亲字段parent,用来指向其双亲结点。每个结点由四个域组成，其结点结构为：

 这种存储结构既便于查找孩子结点，又便于查找双亲结点；但是，相对于二叉链表存储结构而言，它增加了空间开销。利用这样的结点结构表示的二叉树的链式存储结构被称为三叉链表。

    图5-9给出了图5-8 (a)所示的一棵二叉树的三叉链表表示。

 图5-9二叉树的三叉链表表示示意图

    尽管在二叉链表中无法由结点直接找到其双亲，但由于二叉链表结构灵活，操作方便，对于一般情况的二叉树，甚至比顺序存储结构还节省空间。因此，二叉链表是最常用的二叉树存储方式。

结构5-2二叉树的链式存储

#define datatype char  //定义二叉树元素的数据类型为字符
typedef struct  node   //定义结点由数据域，左右指针组成
{ Datatype data;
  struct node *lchild,*rchild;
 }Bitree;