哈夫曼树与哈夫曼编码
在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)
树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如
JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树，
是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点
的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度
为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)
，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径
长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。
哈夫曼编码步骤：
一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。
简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：
虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：
再依次建立哈夫曼树，如下图：
其中各个权值替换对应的字符即为下图：
所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010
霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。
C语言代码实现：
/*------------------------------------------------------------------------- * Name: 哈夫曼编码源代码。 * Date: 2011.04.16 * Author: Jeffrey Hill+Jezze(解码部分) * 在 Win-TC 下测试通过 * 实现过程：着先通过 HuffmanTree() 函数构造哈夫曼树，然后在主函数 main()中 * 自底向上开始(也就是从数组序号为零的结点开始)向上层层判断，若在 * 父结点左侧，则置码为 0,若在右侧,则置码为 1。最后输出生成的编码。 *------------------------------------------------------------------------*/#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXBIT 100#define MAXVALUE 10000#define MAXLEAF 30#define MAXNODE MAXLEAF*2 -1typedef struct { int bit[MAXBIT]; int start;} HCodeType; /* 编码结构体 */typedef struct{ int weight; int parent; int lchild; int rchild;int value;
} HNodeType; /* 结点结构体 *//* 构造一颗哈夫曼树 */void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE], int n)
{ /* i、j： 循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值， x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/ int i, j, m1, m2, x1, x2; /* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */ for (i=0; i<2*n-1; i++) { HuffNode[i].weight = 0;//权值 HuffNode[i].parent =-1;
HuffNode[i].lchild =-1;
HuffNode[i].rchild =-1;
HuffNode[i].value=i; //实际值，可根据情况替换为字母
} /* end for */ /* 输入 n 个叶子结点的权值 */ for (i=0; i<n; i++) { printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i); scanf ("%d", &HuffNode[i].weight); } /* end for */ /* 循环构造 Huffman 树 */ for (i=0; i<n-1; i++) { m1=m2=MAXVALUE; /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */x1=x2=0;
/* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */ for (j=0; j<n+i; j++) { if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1) {m2=m1;
x2=x1;
m1=HuffNode[j].weight;
x1=j;
}
else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
{m2=HuffNode[j].weight;
x2=j;
}
} /* end for */ /* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */HuffNode[x1].parent = n+i;
HuffNode[x2].parent = n+i;
HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
HuffNode[n+i].lchild = x1;
HuffNode[n+i].rchild = x2;
printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight); /* 用于测试 */
printf ("\n"); } /* end for */ /* for(i=0;i<n+2;i++) { printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight);}*///测试
} /* end HuffmanTree *///解码 void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)
{ int i,tmp=0,code[1024]; int m=2*Num-1; char *nump; char num[1024];for(i=0;i<strlen(string);i++)
{if(string[i]=='0')
num[i]=0;
elsenum[i]=1;
}
i=0;
nump=&num[0];
while(nump<(&num[strlen(string)]))
{tmp=m-1; while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1)) { if(*nump==0) {tmp=Buf[tmp].lchild ;
}
else tmp=Buf[tmp].rchild;nump++;
}
printf("%d",Buf[tmp].value);
}
}
int main(void)
{ HNodeType HuffNode[MAXNODE]; /* 定义一个结点结构体数组 */ HCodeType HuffCode[MAXLEAF], cd; /* 定义一个编码结构体数组， 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */ int i, j, c, p, n; char pp[100]; printf ("Please input n:\n"); scanf ("%d", &n);HuffmanTree (HuffNode, n);
for (i=0; i < n; i++) {cd.start = n-1;
c = i;
p = HuffNode[c].parent;
while (p != -1) /* 父结点存在 */
{ if (HuffNode[p].lchild == c)cd.bit[cd.start] = 0;
elsecd.bit[cd.start] = 1;
cd.start--; /* 求编码的低一位 */c=p;
p=HuffNode[c].parent; /* 设置下一循环条件 */ } /* end while */ /* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */ for (j=cd.start+1; j<n; j++) { HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}HuffCode[i].start = cd.start;
} /* end for */ /* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */ for (i=0; i<n; i++) { printf ("%d 's Huffman code is: ", i); for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++) { printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);}
printf(" start:%d",HuffCode[i].start); printf ("\n");}
/* for(i=0;i<n;i++){ for(j=0;j<n;j++) { printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]); } printf("\n"); }*/ printf("Decoding?Please Enter code:\n"); scanf("%s",&pp);decodeing(pp,HuffNode,n);
getch();
return 0;}
