上次的小练习的反响很不错，于是今天我们再来做一道小题目。上次有朋友指出，“反转数组”这种题目非常无聊，“写的再好，又会比框架自带的实现好吗？”。其实做这些小题目的作用是锻炼“编程解决问题”的能力，并非是为了替换框架的实现等等。咱们小学初中高中，不都会做数学题目，几何代数的吗？目的都是为了建立基本解题能力。现在的题目也是这样，请不要误会这些习题的目的。
上次的小练习的反响很不错，于是今天我们再来做一道小题目。上次有朋友指出，“反转数组”这种题目非常无聊，“写的再好，又会比框架自带的实现好吗？”。其实做这些小题目的作用是锻炼“编程解决问题”的能力，并非是为了替换框架的实现等等。咱们小学初中高中，不都会做数学题目，几何代数的吗？目的都是为了建立基本解题能力。现在的题目也是这样，请不要误会这些习题的目的。今天的题目如下：
给出sum、min、max和n四个正整数，请输出所有将sum拆分为n个正整数之和，其中每个正整数k都满足：min <= k <= max。这n个正整数之间可以重复，不过由于加法交换率的作用，1 + 2和2 + 1便算是重复的拆分了。
例如，sum = 5，n = 3，min = 1，max = 3，这时候满足条件的拆分方式只有两种：
这个练习和上次不同，我们假设所有的输入都是正整数。您无需对其进行合法性判断，只要专注于业务实现便是。您在看下面的内容之前，不如自己先简单尝试一下？老赵建议，您可以在这里阐述您的思路。至于代码，您可以在自己的博客上写一篇文章，然后再这里贴上链接，如果直接在这里贴代码的话，会使评论列表变得很长，影响阅读。点此展开
简单枚举
假设我们最后的结果存放在一个长度为n的int数组中。则解决这道题目最简单的方式，自然为数组的每个元素枚举min到max之间的所有值，并在得到一个枚举序列之后，判断它是否符合题目要求。如果是，则输出。代码如下：
static void PrintDivision(int sum, int n, int min, int max)
{
int[] array = new int[n];
DoSimple(array, 0, min, max);
}
private static void DoSimple(int[] array, int n, int minInclusive, int maxInclusive)
{
if (n >= array.Length)
{
if (IsValidResult(array))
{
PrintResult(array);
}
return;
}
for (int i = minInclusive; i <= maxInclusive; i++)
{
array[n] = i;
DoSimple(array, n + 1, minInclusive, maxInclusive);
}
}
DoSimple的含义为，为array数组下标为n的位置中枚举minInvlusive到maxInclusive之间的所有值，并深入。如果array数组填充完毕，那么判断是否是一个正确的结果，并输出。在这个解法中IsValidResult方法的任务颇为繁重，它除了判断array中所有元素之和是否为sum以外，还要判断这个array所表示的拆分是否已经出现过了。例如在已经输出了1 + 1 + 3的情况下，就不能输出3 + 1 + 1。这些都必须在IsValidResult中进行判断，当然做到这点也并不困难。
不过这个做法的问题也是很明显的，就是重复太多。如果让我们进行“人力”拆分，我们肯定不会傻呆呆地为每个空格枚举从min到max之间的所有值。我们会知道，如果已经有了1 + 2，那么在出现2的时候，我们就不会再枚举1这个值。那么在编程时，我们又该如何进行限制呢？
限制范围
“冒泡排序”人人都会（无法在5分钟内写出一个正确的冒泡排序的朋友们应该面壁了），在它的二重循环中，内存循环并不会遍历数组的所有位置，因为外层循环实际上已经对内存循环的有效范围进行了限制。这段代码可能是这样的：
for (int i = 0; i < ...)
{
for (int j = i + 1; j < ...)
{
...
}
}
如果我们可以保证最终array序列中任意相邻元素，后者不小于前者，那么枚举到最后的结果一定是唯一的——这个应该很容易理解吧。于是我们把DoSimple的代码进行一些修改：
private static void DoBetter(int[] array, int n, int minInclusive, int maxInclusive)
{
if (n >= array.Length)
{
if (IsValidResult(array)) // 只需检查array之和是否等于sum
{
PrintResult(array);
}
return;
}
for (int i = minInclusive; i <= maxInclusive; i++)
{
array[n] = i;
DoBetter(array, n + 1, i, maxInclusive);
}
}
与DoSimple方法相比，DoBetter的修改有二。首先，进行下层递归时minInclusive不再保持不变，而是把当前位置的值传入，这样便保证了下层递归所枚举的值一定大于等于当前值。其次，由于我们保证了每个枚举出的序列是唯一的，那么最后判断array是否为一个正确结果的IsValidResult方法，只需要将array数组的元素之和与sum进行比较即可。
避免无效步骤
DoBetter还是有一些明显的性能问题。例如，在枚举出多个max的情况下，其值已经大于sum了，那么接下来的所有步骤都是浪费。如果我们要避免这种浪费，就需要确保走的每一步都是迈向最终结果的。如果要做到这一点，有些朋友可能会选择在合适的时候“剪枝”，也就是发现死路之后及早回头。不过对于现在这题，我们可以使用另外的策略，也就是把每一步都控制在有效的范围内，避免走进一个“无解”的道路上。首先我们还是先列出代码吧：
static void PrintDivision(int sum, int n, int min, int max)
{
if (min * n > sum) return;
if (max * n < sum) return;
int[] array = new int[n];
DoBest(array, sum, n, min, max);
}
private static void DoBest(int[] array, int sum, int n, int minInclusive, int maxInclusive)
{
int index = array.Length - n;
if (n == 1)
{
array[index] = sum;
PrintResult(array);
return;
}
int itemMinInclusive = Math.Max(sum - maxInclusive * (n - 1), minInclusive);
int itemMaxInclusive = sum / n;
for (int i = itemMinInclusive; i <= itemMaxInclusive; i++)
{
array[index] = i;
DoBest(array, sum - i, n - 1, i, maxInclusive);
}
}
首先，如果出现两种情况之一，那么肯定无法得出任何拆分结果：
- min * n > sum
- max * n < sum
其次，我们的DoBest方法的“含义”也有所变化。DoBest的含义是，将sum拆分成n个正整数（请注意，这里的n已经不是元素下标了），其中每个整数k都保证minInclusive <= k <= maxInclusive。于是在DoBest方法中，我们如果发现n为1，则意味着最后一个数值能取sum，于是输出结果。否则，我们已经对当前元素的值进行遍历。值得注意的是，我们并非直接遍历minInclusive到maxInclusive之间的值，因为可能我们取了其中最大或最小的几个值之后，我们拆分遍失败了（先想想，为什么？）。
于是，我们在每层递归中，将会计算出当前位置真正可以摆放的值。这个值必须让后续拆分可以继续进行，因此它必须小于sum / n（因为后续n - 1个值都要大于等于当前值），还必须超过sum - maxInclusive * (n - 1)（因为太小的话，即使后面所有数字都取maxInclusive，它们之和还是到不了sum）。我们以此确保了每一步都是正确拆分的步骤之一，避免产生任何无效的步骤。
递归？
其实这道题目老赵在CSDN学生大本营中也贴出过。在那里有朋友提出这样的看法：
递归不是传说中的最耗费资源的算法吗？？怎么还用递归！
例如有人说，计算斐波那契数列时，递归的性能非常差。但是事实上，递归本身只是一种特殊的方法调用方式，往往不是性能的关键。例如递归计算斐波那契数列性能低下，是因为重复计算的问题，我们可以使用Memoization来避免重复计算。当然，递归的确是有开销的，反复操作调用堆栈上的数据，其性能自然不如所谓“递推”。不过性能“低下”是相对的，在《Beautiful Code（中文名“代码之美”）》的第一章中就提到了一段利用递归的正则表达式匹配代码，其性能与grep相差无几，于是证明了“递归并不会会性能有太多影响”。InfoQ中文站推出过这本书的中译精选版，值得一看。
使用递归的好处在于程序会显得非常清晰（clean code），咱都知道“make clean code fast”远比“make fast code clean”容易，使用递归将您的思路整理出来，是快速解决问题，快速优化问题的有效途径。如果递归真成了您的性能瓶颈之一，那么您可以设法将递归进行优化。例如将其优化为尾递归，或者自己编写不用递归的代码来解决问题。
您是否可以尝试不用递归来解决这个问题呢？
