Bellman_ford算法

   摘自百度百科    

          Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行不停地松弛（relaxation），每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环(即负权回路，本文最后有解释)，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个旗帜flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，所以SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。

     　Dijkstra算法中不允许边的权是负权，如果遇到负权，则可以采用Bellman-Ford算法。

 

　　Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

 

　　适用条件&范围

 

　　1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

 

　　2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

 

　　3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

 

　　4.差分约束系统;

 

　　Bellman-Ford算法描述：

 

　　1,.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

 

　　2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

 

　　3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

 

　　描述性证明：

 

　　首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

 

　　其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

 

　　在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

 

　　每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

 

　　如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

 

　　如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

C++ pseudo code

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean //图G ，边集 函数 w ，s为源点 　　
for each vertex v ∈ V（G） do //初始化 1阶段 　　
          d[ v] ←+∞ 
 d[s] ←0; //1阶段结束 
 for i=1 to |v|-1 do //2阶段开始，双重循环。
 　　 for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。 　　        If d[v]> d[u]+ w(u,v) then //松弛判断，w(w,v)是u到v的权值
 　           d[v]=d[u]+w(u,v) //松弛操作 2阶段结束 
 for each edge（u,v） ∈E(G) do
 　 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
 　       Exit false   //存在负权回路
 Exit true 

 负权回路

 在一个图里每条边都有一个权值（有正有负)
如果存在一个环（从某个点出发又回到自己的路径），而且这个环上所有权值之和是负数，那这就是一个负权环，也叫负权回路
存在负权回路的图是不能求两点间最短路的，因为只要在负权回路上不断兜圈子，所得的最短路长度可以任意小。（转自百度知道）

 代码实现：

　　Bellman-ford算法的运行时间为O（VE），V为顶点数，E为边数。

/*************************************************************************
    > File Name: Bellman_ford.cpp
    > Author: He Xingjie
    > Mail: gxmshxj@163.com
    > Created Time: 2014年06月08日 星期日 22时33分07秒
    > Description: 
 ************************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

#define INF 99999
int map[100][100], dist[100];

bool Bellman_ford(int n, int s)
{
    int v, u;

    for (v=1; v<n; v++)
    {
        if (map[s][v] == INF)
            dist[v] = INF;
        else
            dist[v] = map[s][v];
    }

    dist[s] = 0;

    for (v=1; v<n; v++)
        for (u=0; u<n; u++)
            if (map[u][v] < INF)  //u->v has path
                if (dist[v] > dist[u] + map[u][v])
                    dist[v] = dist[u] + map[u][v];

    //遍历所有的边
    for (v=0; v<n; v++)
        for (u=0; u<n; u++)
            if (v != u && map[u][v] != INF)
                if (dist[v] > dist[u] + map[v][u])
                    return false;

    return true;
}

void PrintMap(int n)
{
    int i, j;
    //输出矩阵
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        for (j=0; j<n; j++)
        {
            if (map[i][j] == INF)
                printf("INF ");
            else
                printf("%d  ", map[i][j]);
        }

        printf("\n");
    }
}

void PrintShortestValue(int n)
{
    int i;

    for (i=1; i<n; i++)
        printf("%d:%d ", i, dist[i]);
    printf("\n");
}

int main()
{
    int n, m, i, j;

    freopen("input.txt", "r", stdin);
    cin>>n>>m;    //n是顶点数，m是边数

    //初始化
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        for (j=0; j<n; j++)
            map[i][j] = INF;
    }

    //输入
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int i,j;
        cin>>i>>j;
        cin>>map[i][j];
    }

    PrintMap(n);

    Bellman_ford(n, 0);
    PrintShortestValue(n);

    return 0;
}