题解【玩具装箱_HNOI2008】(洛谷P3195)

更详细的斜率优化题解

题意

有\(n\)个一维玩具,每个玩具有一个长度\(a_i\),先要将这些玩具分成几份带走。每一份中玩具编号是连续的。若将玩具\([i \cdots j]\)分为一份,则长度\(Len = j-i+\sum_{k=1}^{n}a_k\),而这份玩具的花费为\((Len-L) ^ 2\)。求最小花费。

分析一下

  • 设\(F_i\)表示处理完\(i\)的最小花费。转移时枚举\(j\)且\(j < i\),将\([j+1 \cdots i]\)看为一组,进行转移。
  • 转移方程为:$$F_i = min{ F_j + (i-j-1+S_i-S_j - L)^2}$$(\(S_i\)为预处理出的前缀和)。
  • 答案即为\(F_n\)
  • 数据范围显然要使用斜率优化。

优化过程

  • 转移方程项好多啊,咦怎么还带平方的\(\cdots\)
  • 换一下项吧。令:\(A(i) = i+S_i,B(i) = i + L + 1 + S_i\)。转移方程即为:

\[F_i = min \{F_j + (A(i) - B(j)) ^ 2\} \]

  • 设当前状态为\(i\),有两种转移\(j,k, j < k\)且\(k\)更优。即:

\[F_k + A(i) ^ 2 - 2 A(i) \cdot B(k) < F_j + A(i) ^ 2 - 2A(i) \cdot B(j) \]

移项得$$A(i) < \frac{F_j - F_k + B(j) ^ 2 - B(k) ^ 2}{2(B(j) - B(k))} \text{ }(\because B(j) < B(k))$$

  • 然后日常无脑斜率优化。

代码君

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int n, L;
double ar[50005], s[50005], f[50005];
int head = 0, tail = 0, que[200005];

inline double A(int i) {
	return s[i] + i;
}

inline double B(int i) {
	return s[i] + i + L + 1;
}

inline double g(int j, int k) {
	return (f[j] - f[k] + B(j) * B(j) - B(k) * B(k)) / 2 / (B(j) - B(k));
}
 //三函数不解释 
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &L);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lf", &ar[i]), s[i] = s[i - 1] + ar[i];
	que[head = tail = 0] = 0;
	f[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		while (head < tail && g(que[head], que[head + 1]) < A(i))
			head++; //队首维护时间 
		f[i] = f[que[head]] + (A(i) - B(que[head])) * (A(i) - B(que[head])); //更新答案 
		while (head < tail && g(que[tail - 1], que[tail]) >= g(que[tail], i))
			tail--; //队尾维护单调性 
		que[++tail] = i;
	}
	printf("%lld\n", (long long)f[n]);
	return 0;
}
posted @ 2018-08-13 19:33  JackHomes  阅读(162)  评论(0编辑  收藏  举报