单峰排列

【题目描述】

一个n的全排列A[i]是单峰的，当且仅当存在某个x使得A[1]<A[2]<...<A[x]>A[x+1]>...>A[n]。

例如，对于9的全排列，125798643是一个单峰排列，123456789也是一个单峰排列，但356298741就不是。

试求n的单峰全排列的个数。

【输入格式】

一个整数n

【输出格式】

单峰全排列的个数。

因为结果可能很大，请输出结果对1234567取模后的结果。

【样例输入】

3

【样例输出】

4

【数据范围】

1<=n<=2000000000

【分析】

首先明确一点：n必须是“山峰”的最高点，然后依次是n-1，n-2，...，1。其中，n-1这个数可以放在左边的“山”，也可以放在右边的“山”，然后n-2亦是如此……直到1，都有两种放置方案，故最后的结果就是2^n-1。

只知道这一点还不够，如果用循环来求会爆时间，故选用快速幂或者分治法求解，下面的代码是分治的。

var
  n:longint;
function fct(x:longint):qword;
begin
  if x=0 then exit(1);
  if x=1 then exit(2);
  fct:=sqr(fct(x div 2)) mod 1234567;
  if x mod 2<>0 then fct:=fct*2 mod 1234567;
end;
begin
  read(n);
  write(fct(n-1));
end.