负载平衡

【题目描述】
Farmer John 的 n 头牛分别站在他的二维农场的不同位置(x1,y1)..(xn,yn)（xi 和 yi 都是正奇数且不大于 B）。为了划分他的农场，约翰想建立两个栅栏（你可以认为它们是无限长的），南北方向一个，表达式为 x=a（a 是一个正偶数，这样可以确保栅栏不会穿过任意一头牛）；东西方向一个，表达式为 y=b，b 也是一个正偶数。这两条栅栏在点(a,b)处相交，并一起把这个农场分为 4 部分。
农夫约翰想要选择一组 a 和 b，使四个区域中的奶牛数都尽量地平衡，即没有一个区域所包含的奶牛的数目过多。现在定义这为 m，约翰想要让 m 尽量地小。请你帮助他算出最小的 m。
【输入格式】
第一行，包含两个整数 N 和 B，表示有 n 头奶牛，以及农场的大小。
接下来 N 行，每行两个整数 xi,yi，表示第 i 头牛的坐标。
【输出格式】
一个整数 m，表示最小的四个区域中包含最多奶牛的区域的奶牛数目。
【样例输入】
7 10
7 3
5 5
9 7
3 1
7 7
5 3
9 1
【样例输出】
2
【数据范围】
1<=n<=1000，B<=maxlongint
【分析】
首先可以设计出暴搜算法：双重循环枚举x=a和y=b，然后再一重循环计算每个区域的点数，最后打擂台即可。但是这种方法显然会TLE。
然后发现这个算法有一个很明显的重复计算：

比如上图的y已经确定，算法1会枚举图中的两条竖线（即x），但是这两条竖线只要一条就够了——因为两条竖线都把两个点划在左边，一个点划在右边，且横线已经固定。于是可以离散化得出算法2，即把算法1的枚举x=a和y=b改成x=xi-1和y=yi-1。

var
  x,y:array[0..1001]of longint;
    i,j,k,n,xx,yy,t1,t2,t3,t4,t,ans:longint;
begin
  readln(n,k);
    for i:=1 to n do readln(x[i],y[i]);
    ans:=maxlongint;
    for i:=1 to n do
        for j:=1 to n do
            begin
                xx:=x[i]-1;yy:=y[j]-1;
                t1:=0;t2:=0;t3:=0;t4:=0;
                for k:=1 to n do begin
                    if (x[k]<xx)and(y[k]<yy) then inc(t1);
                    if (x[k]>xx)and(y[k]<yy) then inc(t2);
                    if (x[k]<xx)and(y[k]>yy) then inc(t3);
                    if (x[k]>xx)and(y[k]>yy) then inc(t4);
                end;
                t:=t1;
                if t2>t then t:=t2;
                if t3>t then t:=t3;
                if t4>t then t:=t4;
                if t<ans then ans:=t;
            end;
    write(ans);
end.

不幸的是，这样仍然会TLE，因为N最多可达1000。
不难发现，算法2中似乎计算了一些人脑就知道不是最优解的情况，比如

这种情况一定不是最优解，因为竖线的左边一个点都没有。
于是可以设计算法3，一重循环枚举一条竖线（即x=a），然后二分出最优的竖线。先假设每次都可以知道从mid分开后，四个区域内每个区域的点数，那么我们便可以知道二分的方法：如果最大值在上方则l=mid，否则r=mid（边界条件还需要调试）。至于每个区域的点数，可以用前缀和+线段树（树状数组应该也行吧）求出来。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>//为了STL启用C++辣！
using namespace std;
const int INF=0xfffffff;
const int maxn=500000+10;
const int maxm=100000+10;
int srchq[maxn],prex[maxn],prey[maxn],left,right,down,up,n,cnt,ok,x,y;
bool exist[maxn];
vector<int> which[maxn];
int node[4*maxn];
void Insert(int l,int r,int now,int aim){
    node[now]++;
    if (l==r) return;
    int m=(l+r)/2;
    if (aim>m) Insert(m+1,r,now*2+1,aim);else Insert(l,m,now*2,aim);
}
void Query(int al,int ar,int l,int r,int now){
    int m=(l+r)/2;
    if (al<=l && ar>=r) ok+=node[now];
    else {
        if (al<=m) Query(al,ar,l,m,now*2);
        if (ar>m) Query(al,ar,m+1,r,now*2+1);
    }
}
int Work(int i){
    int lmax,rmax,l=left,r=right-1,m,tmp;
    while(l<r){
        m=(l+r)/2;
        ok=0;
        Query(left-1,m,left-1,right,1);
        tmp=ok;
        lmax=max(tmp,prex[m]-tmp);
        rmax=max(prey[i]-tmp,n-(prex[m]+prey[i]-tmp));
        if (lmax<rmax) l=m+1;
        else
            if (lmax==rmax) {
                r=m;
                break;
            }
        else r=m-1;
    }
    ok=0;
    Query(left-1,r,left-1,right,1);
    tmp=ok;
    lmax=max(tmp,prex[r]-tmp);
    rmax=max(prey[i]-tmp,n-(prex[r]+prey[i]-tmp));
    return max(lmax,rmax);
}
int main(){
    left=down=INF;
    right=up=-INF;
    scanf("%d%d",&n,&x);
    for(int i=1;i<=n;i ++){
        scanf("%d %d",&x,&y);
        left=min(left,(x+1)/2);
        right=max(right,(x+1)/2);
        down=min(down,(y+1)/2);
        up=max(up,(y+1)/2);
        prex[(x+1)/2]++;
        prey[(y+1)/2]++;
        if (!exist[(y+1)/2]){
            exist[(y+1)/2]=1;
            srchq[++ cnt]=(y+1)/2;
        }
        which[(y+1)/2].push_back((x+1)/2);
  }
    for (int i=left;i<=right;i++) prex[i]+=prex[i-1];
    for (int i=down;i<=up;i++) prey[i]+=prey[i-1];
    int ans=INF;
    sort(srchq+1,srchq+cnt+1);
    for (int i=1;i<=cnt-1;i ++) {
        for (int j=0;j<which[srchq[i]].size();j ++) Insert(left-1,right,1,which[srchq[i]][j]);
      ans=min(ans,Work(srchq[i]));
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}