【编程珠玑】第十二章 取样问题

一，概述

        问题描述：如何生成0~n-1内的m个随机整数（不重复）

               需求：按序输出，并且保证每个子集被选中的可能性相等。

        1）给出下面代码

#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "time.h" void getRandNumber(int m,int n)//在0 -- n-1 中挑选m个 随机数 { srand(time(NULL));//这个很关键 int i,j; for(i=0;i<n;++i) { if( rand()%(n-i) < m) { printf("%d ",i); m--; } } } int main() { getRandNumber(5,10); return 0; }

        其中for循环保证 按序输出，rand()%(n-i) 保证输出概率符合要求。

     算法时间复杂度 O(n)

         2）非常规求法：

               将n个数写到大小相等的纸片上，摇匀。然后取出m个纸片，按序输出m个纸片

        3）解决算法时间复杂度问题，提出以下优化方案

              给定一个集合S，每次插入一个元素。插入之前检查S中个数是否达到m，且随机数在不在m中。

#include <iostream> #include <set> using namespace std; void getSet(int m,int n)//在0 -- n-1 中挑选m个 随机数 { srand(time(NULL));//这个很关键 set<int> S; while(S.size()<m) //直到填满 S.insert(rand()%n); set<int>::iterator i; for(i=S.begin();i!=S.end();++i) cout<<*i<<" "; } int main() { getSet(5,10); return 0; }

          C++模板插入操作在O(logm)时间内完成，而遍历集合需要O(m)时间。所以完整程序需要O(mlogm)时间
         

         4）生成随机数的另一种方式：把包含0 - n-1的数组顺序打乱，然后把前m个元素输出。

               更好的方式是，我们只需要打乱前m个元素，然后排序输出。

                或者生成大于n个1 -  n范围的随机数，然后去掉重复的，输出前面的m个元素

#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; void sort(int a[],int m) { for(int i=1;i<m;i++) for(int j=i;j>0&&a[j-1]>a[j];j--) swap(a[j-1],a[j]); } void getShuf(int m,int n)//在0 -- n-1 中挑选m个 随机数 { srand(time(NULL));//这个很关键 int i,j; int a[n]; for(int i=0;i<n;++i) a[i]=i; for(int i=0;i<m;++i) { swap(a[i],a[rand()%(n-i)]); } sort(a,m); for(i=0;i<m;++i) cout<<a[i]<<" "; } int main() { getShuf(5,10); return 0; }

二，习题

       1）

int bigrand() { return RAND_MAX*rand() + rand(); } int region(int l, int u) //[l, u] { ++u; return l + rand() % (u - l);
       2）选择的m子集的概率相等，如何做？

             在1 - n范围内随机选择一个数，然后其后的m-1 个数为所选择的子集（有可能到头，然后从0开始）

       3）

当m < n/2时，

总共试了k次，则前面k-1次找到的数都是在集合中，那么只有第k次不在里面，那么概率

p = (m/n)^(k-1) * (n-m)/n

那么期望是 连加 k = 1至无穷大，根据二项式分布可知，期望等于

n/(n-m) < 2

从而可知得证

       4）参考算法导论中文版64页。

             搜集n张随机赠送的赠券，需要多少次？ nlogn次

       7）先输出再递归，改成先递归再输出

       9）给出一个算法，在最坏情况下只使用m个随机数。而不用丢弃已经生成的随机数

#include <iostream> #include <set> using namespace std; void getSet(int m,int n)//在0 -- n-1 中挑选m个 随机数 { srand(time(NULL));//这个很关键 set<int> S; for(int i=n-m;i<n;++i) { int t=rand()%(i+1); if(S.find(t) == S.end()) S.insert(t); else S.insert(i); } set<int>::iterator j; for(j=S.begin();j!=S.end();++j) cout<<*j<<" "; } int main() { getSet(5,10); return 0; }<span style="font-size:18px;"><span style="font-family:Arial;color:#333333;"><span style="line-height: 26px; "> </span></span></span>

     10）问题：如何随机从n个对象中选择一个对象，这n个对象是按序排列的，但是在此之前你并不知道n的值？具体些说，在事先并不知道行数的情况下，如何读一个文本文件，随机选择并输出一行？

            解答：我们总是选择第一行，并使用二分之一的概率选择第二行，使用三分之一的概率选择第三行，以此类推。在该过程结束的时候，每一行具有相同的选中概率（1/n，其中n是文件的总行数）：

             
i = 0
while more input lines
with probability 1.0/++i
choice = this input line  //如果前面做了选择，并不会break，而是直到最后一个为止。
print choice


           这里比较有些疑惑的是第一行：总是选第一行 为什么概率还是1/n?

           概率=1*(1/2)*(2/3)*(3/4)……(n-1/n) =1/n

证明：
当做第i步选择（选择第i行）时，选择该行的概率为1/i，则不选择的概率为(i-1)/i


对于一篇有n行的文档，现需证明最终选定第i行的概率为1/n。
当最终选择第i行，前（i-1）步的选择对最终结果不会产生影响，第i步选择的概率为1/i，即选择第i行，第（i+1～n）步中均采取不选择的动作，即对于任意j(i+1<=j<=n)，当前步的概率为(j-1)/j，那么最终的概率为：
(1/i)*((i)/(i+1))*...*((n-1)/n) = 1/n


以一篇只有6行的文档为例，最终选择第2行的概率为：
1/2*(2/3)*(3/4)*(4/5)*(5/6) = 1/6


扩展：
原问题可简化为：
如何从n个有序对象中等概率地任意抽取1个，简记为sample（n,1），其中n未知；
若将该问题改为：
如何从n个有序对象中等概率地任意抽取m个，简记为sample（n,m），其中n未知；


分析：
若n已知，sample(n,m)是普通的抽样问题；当n未知时，可否根据上述算法进行相应的转化求解？


解决方案：
将sample(n,m)问题转化为m个sample(n*,1)问题，更具体一点是，转化为
sample(n,1);sample(n-1,1);sample(n-2,1)....;sample(n-m+1,1)问题。


仍然以一篇6行文档为例，任取其中2行，做法如下：
第一遍，以如下概率选中一行：
1(1)   2(1/2)  3(1/3)  4(1/4)  5(1/5)  6(1/6)


假设选中第2行，接着概率修改如下：
3(1)  4(1/2)  5(1/3)  6(1/4)  1(1/5)

【说明】:当选中第2行，从第3行开始修改概率，并将第2行排除在外，继续扫描，这样能保证在剩下的5个数中仍然以等概率抽取其中的一个。

      11）这个题看似很复杂，其实很简单。只需要关注1,2,3如何输出即可。要想获胜，只需要1,2先输出，三个数的全排列中这种情况有2种。所以获胜概率为2/6

=1/3