最小生成树的基本算法

• Prim算法

感觉Prim算法找最小生成树的过程像是一个dp的过程，从随便一个点开始，每次都是找到局部最优解，最后就可以找全整个最小生成树。

const int MAXN = 1000;
const int LIM = 0x3f3f3f3f;

struct MGraph
{
	int vexs[MAXN];//顶点表
	int arc[MAXN][MAXN];//邻接矩阵
	int numEdges, numVertexes;//边，点的数量
};

void MiniSpanTree(MGraph G)
{
	int adjvex[MAXN];
	int lowcost[MAXN];//储存每一次延伸后的最小权值
	adjvex[0] = 0;
	lowcost[0] = 0;//置0代表该点已经加入最小生成树，这里就把0这个点作为起始点
	for (int i = 1; i < G.numVertexes; i++)//初始化第一个点延伸出去的边信息
	{
		lowcost[i] = G.arc[0][i];
		adjvex[i] = 0;
	}
	for (int i = 1; i < G.numVertexes; i++)
	{
		int mmin = LIM;
		int k;
		for (int j = 1; j < G.numVertexes; j++)//找到lowcost中的最小边
		{
			if (lowcost[j] != 0 && mmin > lowcost[j])
			{
				mmin = lowcost[j];
				k = j;
			}
		}
		cout << '(' << adjvex[k] << '，' << k << ')' << endl;//打印最小生成树的边
		lowcost[k] = 0;//把该顶点置0
		for (int j = 1; j < G.numVertexes; j++)//把下一个顶点的边加入lowcost
		{
			if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
			{
				lowcost[j] = G.arc[k][j];//更新lowcost
				adjvex[j] = k;//找到该点的上一个顶点
			}
		}
	}
}

• Kruskal算法

这个算法就是一个划分集合的过程，运用了并查集的思想，并且保证集合里面不会形成环路。因为已经将边集数组提前进行从小到大的排序，所以每次加进集合的都可以认为是剩下的最优解。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1000;

struct Edge//边集数组
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
};

struct Graph//图
{
    Edge edges[MAXN];
    int numVertexes,numEdges;
};

bool cmp(Edge a,Edge b)//定义比较函数，从小到大排序
{
    return a.weight<b.weight;
}

int Find(int *parent,int f)//找到集合的末尾，便于找两个点是否都在一个集合里面
{
    while(parent[f])
        f = parent[f];
    return f;
}

void MiniSpanTree(Graph G)
{
    sort(G.edges,G.edges+G.numEdges,cmp);//将边从小到大排序
    int parent[MAXN];//判断是否形成了环路
    for(int i=0;i<G.numVertexes;i++)
    {
        parent[i]=0;//初始化数组
    }
    for(int i=0;i<G.numVertexes;i++)
    {
        int n = Find(parent,G.edges[i].begin);
        int m = Find(parent,G.edges[i].end);
        if(m!=n)//如果不是环路，即一个顶点不在已经划定的集合里面
        {
            parent[n] = m;//加入集合
            cout<<'('<<G.edges[i].begin<<','<<G.edges[i].end<<' '<<G.edges[i].weight<<endl;//输出
        }
    }
}