快速幂和取余运算

首先将指数转换为2进制，如\(2^{11}\)，指数11的二进制为1011，即\(8+2+1\)，可以得到\(2^{11}=2^8+2^2+2^1\)。
所以通过base的自增和判断指数二进制具体位的0或者1来给ans加base。这样时间复杂度\(O(n)=log(n)\)，效率很高。

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1.题目来源洛谷:P1226 【模板】快速幂||取余运算

实现代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
	int a, b;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	int base=a,ans=1;//赋初值 
	while(b>0) 
	{
		if(b&1)//按位与0001，只有最右边同为1才执行 
		{
			ans*=base;
		}
		base*=base;//base自增 
		b>>=1;//b右移，这样可以一直判断最右边那一位 
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

模运算有以下性质

\((A+B) mod b=(A mod b+B mod b) mod b\)

\((A×B) mod b ==((A mod b)×(B mod b)) mod b\)

所以

\(a^b\) \(mod\) \(k\)代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
	long long a, b,k;
	scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k);
	if(a==k)//特判，如1 0 1 
	{
		printf("%lld^%lld mod %lld=0",a,b,k);
		return 0;
	}
	long long t=b;//将b的值保存下来用来输出 
	long long base=a,ans=1;//赋初值 
	while(t>0) 
	{
		if(t&1)//按位与0001，只有最右边同为1才执行 
		{
			ans*=base;
			ans%=k;
		}
		cout<<ans<<endl;
		base*=base;//base自增 
		base%=k;
		t>>=1;//b右移，这样可以一直判断最右边那一位 
	}
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",a,b,k,ans);
	return 0;
}

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2.题目来源洛谷P1010 幂次方
看到这道题的递归题解心中万分震惊，原来可以这么简单，递归nb！话不多说，上代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

string fun(int t,int i=0,string s="");

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<fun(n)<<endl;
	return 0;
}

string fun(int t,int i,string s)
{
	if(t==0)//如果次数是0就返回0 
	{
		return "0";
	}
	while(t)//快速幂，下面会再贴一个更简洁的快速幂代码 
	{
		if(t&1) 
		{
			s=(i==1?"2":"2("+fun(i)+")")+(s==""?"":"+")+s;//第一个括号内是递归主体，第二个括号判断是否是最后一位来决定是否输出括号，最后一个用来从高位到低位连接字符串
		}
		t>>=1;
		i++;//次数+1 
	};
	return s;
}

↓更简洁的快速幂代码如下

do
{
	if(t&1)
	{
		s=(i==1?"2":"2("+fun(i)+")")+(s==""?"":"+")+s;
	}
}while(i++,t>>=1);