【Atcoder Grand Contest 010】D - Decrementing——博弈论

 

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题目大意：给定n个最大公约数为1的整数，两个人轮流进行操作，每次操作可以选一个大于1的数使其减1，然后所有的数再除以当前的最大公约数（如3 6 10对10操作后得到1 2 3），当其中一个人无法操作时，输掉比赛，求获胜的是先手还是后手。先手输出First，后手输出Second。

 

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分析：

我们先想一下，如何能使整段序列变成全为1，很显然只有当序列变为形如k,k,k,k,k+1才能一步变为全为1的序列。那么另一个人一定会避免让对手拿到这样的序列（可以通过操作别的数使得不会出现这种情况），当且仅当k=1时，才能决出胜负。

也就是说，*获胜的一方一定会拿到形如1,1,1,1,2的序列（性质1）。

一、当偶数的个数为奇数时：

（1）当n>2时，先手可以通过选数来使得gcd一直为1。如果此时gcd一直为1会发生什么呢？

　　因为两人各选一次后偶数个数奇偶性不变，那么先手是一定获胜的（参考性质1）。

（2）当n=2时，先手可能无法避免出现除法（会出现两数同为奇数的情况），此时会出现除以奇数的情况。

　　奇数除以奇数还是奇数，因此　奇偶性依然不会变，所以先手依然必胜。

*当偶数的个数为奇数时，先手必胜（性质2）。

二、当偶数的个数为偶数时，先手要利用先手的优势尝试扭转偶数个数的奇偶性：唯一扭转个数奇偶性的方法就是同除一个偶数，这样的话偶数可能变成奇数，当然也可能还是偶数。

（1）*当奇数个数大于1或奇数中存在1时，无法逆转，先手必败（性质3）。

（2）当奇数个数为1且该奇数不为1时，递归模拟，当出现操作后偶数个数为奇数的时候，

　　说明此操作的执行者必败（参考性质2）；当序列中出现1或奇数个数大于1时，逆转不可能再发生了，可以直接得出答案。

*当偶数个数为偶数，奇数个数为1且此奇数不为1时，先手有可能获胜，也有可能输掉比赛（性质4）。

 

 

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代码：

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int N=1e5+10;
int a[N],ma=0,n;
int read(){
    int ans=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-48;c=getchar();}
    return ans*f;
}
/*-----------------------------------------------------*/
int gcd(int x,int y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
bool dfs(int p){
    int mc=0,flag=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(a[i]%2){a[i]--;break;}
    int gc=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)gc=gcd(gc,a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){a[i]/=gc;if(!(a[i]%2))mc++;if(a[i]==1)flag=0;}
     if(mc%2)return !p;
    if(!flag||n-mc!=1)return p;
    return dfs(p^1);
}
int main(){
    n=read();int mc=0;bool flag=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();if(a[i]%2==0)mc++;
        else {
            ma++;if(a[i]==1)flag=0;
        }
    } 
    if(mc%2)printf("First");
    else {
        if(ma!=1||!flag)printf("Second");
        else if(dfs(1))printf("First");
        else printf("Second");
    }
    return 0;
}