[CTSC2017]游戏(Bayes定理,线段树)
题目良心给了Bayes定理，但对于我这种数学渣来说并没有什么用。
先大概讲下相关数学内容：
1.定义：$P(X)$ 表示事件$X$发生的概率，$E(X)$表示随机变量$X$的期望值，$P(A|B)$表示已知$B$发生，$A$发生的概率，$P(AB)$表示$A$和$B$同时发生的概率。
2.条件概率公式：
$\begin{aligned}P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\end{aligned}$。
由$P(B)P(A|B)=P(AB)$移项可得。
3.全概率公式：
当存在$k$个互斥事件且事件并集为全集时：
$P(A)=\sum\limits_{i=1}^{k}P(A|X=X_i)P(X=Xi)$
由条件概率公式可得。
4.Bayes定理：
$\begin{aligned}P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\end{aligned}$
由条件概率公式可得。
接下来是OI部分。
对于每个位置，找到夹着它的两个已知胜负条件，设为A和B。
将A作为必要条件（题设），可知$E(C)=\sum_{i=1}^{k}P(c_i=1)$。根据Bayes公式可得$\begin{aligned}P(c_i=1|B)=\frac{P(c_i=1)P(B|c_i=1)}{P(B)}=\frac{P(c_i=1,B)}{P(B)}\end{aligned}$
修改的时候使用线段树进行区间合并，用矩阵加速合并。
设节点$x$代表的区间是$[L,R]$，则val[x][0/1][0/1]表示$L-1$为胜/负时，R为胜/负的$P(c_L=1)*P(B|c_L=1)$和$P(B)$。
接下来是暴力部分(10分)。
指数级枚举所有状态，计算这个状态出现的概率以及是否合法，累加即可。
方法一：暴力
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 6 const int N=200100; 7 char S[15]; 8 int n,m; 9 double p[N],q[N],w[15]; 10 11 void calc(){ 12 double ans=0,tp=0; 13 int up=(1<<n); 14 for(int i=0;i<up;i++){ 15 bool f=1; int c=0,las=1; double pc=1; 16 for(int j=0,k=1;j<n;j++,k++) 17 if(i&(1<<j)){ 18 if(w[k]==0){ f=false; break; } 19 c++; 20 if (las) pc*=p[k]; else pc*=q[k]; 21 las=1; 22 }else{ 23 if(w[k]==1){ f=false; break; } 24 if(las)pc*=(1-p[k]); else pc*=(1-q[k]); 25 las=0; 26 } 27 if(f)ans+=pc*c,tp+=pc; 28 } 29 ans/=tp; printf("%.6f\n",ans); 30 } 31 32 void solve(){ 33 for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=-1; 34 for(int i=1,x,y;i<=m;i++){ 35 scanf("%s",S); 36 if(S[0]=='a') scanf("%d%d",&x,&y),w[x]=y; else scanf("%d",&x),w[x]=-1; 37 calc(); 38 } 39 } 40 41 int main(){ 42 freopen("game.in","r",stdin); 43 freopen("game.out","w",stdout); 44 scanf("%d%d",&n,&m); scanf("%s",S); 45 scanf("%lf",&p[1]); 46 for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%lf %lf",&p[i],&q[i]); 47 solve(); 48 return 0; 49 }
方法二：正解
1 #include<set> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #define ls (x<<1) 6 #define rs (ls|1) 7 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) 8 using namespace std; 9 10 const int N=200100; 11 int n,m,p,c,type,S2[N]; 12 double ans,P[N],Q[N]; 13 set<int>S1; 14 char op[10]; 15 16 struct M{ double v[2][2]; M(){ memset(v,0,sizeof(v)); }; }; 17 M operator +(M a,const M &b){ rep(i,0,1) rep(j,0,1) a.v[i][j]+=b.v[i][j]; return a; } 18 M operator *(const M &a,const M &b){ M c; rep(i,0,1) rep(j,0,1) rep(k,0,1) c.v[i][j]+=a.v[i][k]*b.v[k][j]; return c; } 19 20 struct inf{ M f,g; inf(const M &_f=M(),const M &_g=M()):f(_f),g(_g){}; }; 21 inf operator +(const inf &a,const inf &b){ return inf(a.f*b.f,a.g*b.f+a.f*b.g); } 22 struct node{ int l,r,mid; inf val; }seg[N<<2]; 23 24 void build(int x,int l,int r){ 25 if (l==r){ 26 seg[x].val.f.v[1][1]=P[l]; seg[x].val.f.v[1][0]=1.-P[l]; 27 seg[x].val.f.v[0][1]=Q[l]; seg[x].val.f.v[0][0]=1.-Q[l]; 28 seg[x].val.g.v[1][1]=P[l]; seg[x].val.g.v[0][1]=Q[l]; 29 return; 30 } 31 int mid=(l+r)>>1; 32 build(ls,l,mid); build(rs,mid+1,r); seg[x].val=seg[ls].val+seg[rs].val; 33 } 34 35 inf que(int x,int L,int R,int l,int r){ 36 if (L==l && r==R) return seg[x].val; 37 int mid=(L+R)>>1; 38 if (r<=mid) return que(ls,L,mid,l,r); 39 else if (l>mid) return que(rs,mid+1,R,l,r); 40 else return que(ls,L,mid,l,mid)+que(rs,mid+1,R,mid+1,r); 41 } 42 43 double ask(int l,int r){ inf v=que(1,0,n+1,l+1,r); return v.g.v[S2[l]][S2[r]]/v.f.v[S2[l]][S2[r]]; } 44 45 int main(){ 46 freopen("game.in","r",stdin); 47 freopen("game.out","w",stdout); 48 scanf("%d%d",&n,&m); scanf("%s",op); scanf("%lf",&P[1]); 49 rep(i,2,n) scanf("%lf%lf",&P[i],&Q[i]); 50 S1.insert(0); S2[0]=1; S1.insert(n+1); S2[n+1]=0; P[n+1]=Q[n+1]=0.; 51 build(1,0,n+1); ans=ask(0,n+1); 52 while (m--){ 53 scanf("%s",op); 54 if (*op=='a'){ 55 scanf("%d%d",&p,&c); set<int>::iterator nxt=S1.lower_bound(p),lst=nxt; lst--; 56 S2[p]=c; ans-=ask(*lst,*nxt); ans+=ask(*lst,p)+ask(p,*nxt); S1.insert(p); 57 }else{ 58 scanf("%d",&p); set<int>::iterator mid=S1.find(p),lst,nxt; 59 lst=nxt=mid; lst--; nxt++; ans-=ask(*lst,p)+ask(p,*nxt); ans+=ask(*lst,*nxt); S1.erase(p); 60 } 61 printf("%.6lf\n",ans); 62 } 63 return 0; 64 }
