关于二分搜索的写法以及正确性证明的思考

　　今晚看到算法引论关于二分搜索的相关问题，想起了当年看编程珠玑的“无处不在的二分搜索”那章，记得作者说过能完全写对二分搜索的程序员寥寥无几，当时自己也写了下，确实不容易写，主要的难点在于写对，大致的框架可能大家都非常熟悉，但是里面的下标怎么确定是正确的呢？不对的下标很有可能造成死循环。不过，算法引论所推崇的数学归纳法的思想还是很普适的，反应在程序上就是先写n=1的情况，再写归纳阶段的代码，这样的方法用在写二分搜索感觉很有效，例如书中最普通的二分搜索代码如下：

 

int BinarySearch(int* A, int l, int r, int z)
{
	if(l == r)
	{
		if(A[l] == z)
			return l;
		else
			return -1;
	}
	else
	{
		int middle = (l + r + 1)/2;
		if(z < A[middle])
		{
			BinarySearch(A,l, middle-1,z);
		}
		else
		{
			BinarySearch(A,middle,r,z);
		}
	}
}

　　这里对程序稍微做了点修改，但是大意是一样的，可以看到，程序书写的逻辑上，先处理n=1的情况，即l==r，这时候只有1个元素，对于1个元素的判断是trivial的，然后在else里面，算出middle并递归判断，这里是上取整，那么为什么要上取整？

　　要明白这个问题就是要理解，如果下取整会出现什么情况？死循环！让我们来验证下，假如某个时刻l=r-1,且A[l]<=z，这个时候就是死循环的时候，因为每次middle都会等于l（下取整）而A[l]<=z所以会走else那个分支，又继续递归l（此时middle是等于l的）和r，从而一直死循环下去。

　　仔细分析上面的情况不难发现，关键的地方在middle是下取整的情况，如果下取整会出现一个关键的问题就是l有可能等于middle，我们如果抓住这个问题去分析，就会很容易发现在else分支会出现死循环。下面用同样的方法分析下上取整，如果上取整的话，middle则可能会等于r，如果A[middle]>z，会直接导致r等于l，即在下次进入n=1的判断；如果A[middle]<=z，则同样会有middle等于r进入n=1的分支，这也证明了这个程序一定会在n=1的时候退出。其实在下取整和上取整发生不同的地方就是临界的位置，这也是容易造成死循环的时候。

　　通过以上分析，我们总结下如何快速判断一个二分搜索程序是否会出现死循环：

• 查看middle的选取是那种取整类型，是上取整还是下取整
• 根据类型，假定临界条件的发生，对上取整就是middle等于r了，对下取整就是middle等于l了
• 用临界的情况去检验if的两个分支，看看会不会出现循环调用，如果会则一定会有死循环，否则可大致判断程序是正确的

　　其实，编程珠玑中也介绍了程序验证学的方法，即assert，这个方法也是很好的一种方法，特别的是写短小程序的时候。

　　用这个方法，我发现图6.3中，二叉搜索的特殊下标问题中的程序是错误的，即middle的取法应该是下取整，书上是上取整，我用程序跑书的例子，果然华丽的堆栈溢出了，看来这种方法还是挺有作用的，不知道有人和我有同样的疑问吗，勘误上并没有说程序的问题。

　　[Update] 最近做Leetjob 的online judegment又遇到类似的，问题，继续总结，二分查找可以在有序数组中找任意满足某些特定条件的一个数，先根据条件，确定middle比较的形式，之后就可以确定是用上取整还是下取整，上取整，上限j必须要变，下取整，下限i必须要变，例如第一个找某个数x使得x>=target，那么我们就要写A[middle]<target，i=middle+1。例子可见https://oj.leetcode.com/problems/search-for-a-range/

(完）