【NOIp2018TG笔试】问题求解2

题目大意：

填空：方程$ab=(a|b)(a\&b),a,b\in[0,31]$，共有      组解。

 

 

解答：

引理：$(a|b)+(a\&b)=a+b$

证明：

设$a=\sum2^{m},m\in{}M$且$b=\sum2^{n},n\in{}N$

则$a\&b=\sum2^{p},p\in{}P=M\cap{}N{}$且$a|b=\sum2^{q},q\in{}Q=M\cup{}N=M+N-P$

$\therefore{}P+Q=M+N$

$\therefore{}(a|b)+(a\&b)=a+b$

 

设$a|b=x$，则$a\&b=a+b-x$

代入原方程，得$ab=x(a+b-x)$

得$x_{1}=a,x_{2}=b$

 

$i$

若$x=a$即$a|b=a$

$\Leftrightarrow$对于每一个二进制位，都有$c_{a}|c_{b}=c_{a}$

$\therefore$有$5^{3}$组解

$ii$

当$x=b$时同理有$5^{3}$组解

 

注意到$i$和$ii$给出的解集有交集，为$\{<a,b>|a=b\}$，有$|I|=32$组。

$\therefore$答案为$2\times5^{3}-|I|=454$

 

 

小结

掌握该引理可使证明思路更清晰。