算法及其性能分析
要点概论：
1. 算法概述
2. 算法的时间复杂度分析
3. 增长量级
4. 算法的空间复杂度分析
1. 算法概述
算法是指解决问题的一种方法或一个过程。算法通常使用计算机程序来实现。算法接手待处理的输入数据，然后执行相应的处理过程，最后输出处理的结果。如图所示：
算法的实现为若干指令的有穷序列，具有如下性质。
1）输入数据：算法可以接收用于处理的外部数据
2）输出结果：算法可以产生输出结果
3）确定性：算法的组成指令必须准确无歧义
4）有限性：算法指令的执行次数必须是有限的，执行的时间也必须是有限的。
再计算机上执行一个算法，会产生内存开销和时间开销，算法的性能分析包括以下两个方面。
1）时间性能分析
2）空间性能分析
2. 算法的时间复杂度分析
衡量算法有效性的一个指标是运行时间。算法的运行时间长度与算法本身的设计和所求解的问题的规模（即算法求解问题的输入量，通常以一个整数表示）有关。
算法的时间性能分析，又称为算法的时间复杂度分析。
对于问题规模较大数据，如果算法的时间复杂度呈指数分布，完成算法的时间可能趋向于无穷大，即无法完成。
一个算法运行的总时间取决于以下两个主要因素：
1）每条语句的执行成本。
2）每条语句的执行次数（频度）。
算法中语句的频度之和示例：
total = 0 for i in range(n): for j in range(n): total += a[i][j] print(total) #内循环语句运行了 n * n 次，总算发执行语句频度为： n*2 + 2
3. 增长量级
对于问题规模 n ，假如算法 A 中所有语句的频度之和为 100n + 1 ；算法 B 中所有语句的频度之和为 n*2 + n + 1。则算法 A 和 B 对于不同问题规模的运行时间对照如表所示：
| 问题规模 n | 算法 A的运行时间 | 算法 B 的运行时间 |
| 10 | 1001 | 111 |
| 100 | 10 001 | 10 101 |
| 1000 | 100 001 | 1 001 001 |
| 10 000 | 1 000 001 | 100 010 001 |
由表可以看出，随着问题规模 n 的增长，算法的运行时间主要取决于最高指数项。
在算法分析中，通常使用增长量级来描述。
增长量级用于描述函数的渐进增长行为，一般使用大O符号表示。
例如， 2n ，100n 与 n + 1属于相同的增长量级，记为 O(n)，表示函数随 n 线性增长。
算法分析中常用的增长量级如表所示：
| 函数类型 | 增长量级 | 举例 | 说明 |
| 常量型 | 1 | count -= 1 | 语句（整数递减） |
| 对数型 |
㏒₂n
|
while n > 0: n = n//2 count += 1 |
除半（二分查找法等） |
| 线性型 | n |
for i in range(n): if i / 2 != 0: #奇数 sum_odd += i |
单循环（统计奇数的个数，顺序查找法等） |
| 线性对数型 |
n㏒₂n
|
（待补充） | 分而治之算法（归并排序法等） |
| 二次型 | n**2 |
for i in range(l,n): s = '' for j in range(l,n): s += str.format('{0:l}*{l:l}={2:2}',i,j,i*j) print(s) |
两重嵌套循环（打印九九乘法表，冒泡排序算法，选择排序算法，插入排序算法等） |
| 三次型 | n**3 |
for i in range(n): for j in range(i+l,n): for k in range(j+l,n): if ( a[i] + a[j] + a[k] ) == 0: count += 1 |
三重嵌套循环 |
4 . 算法的空间复杂度分析
衡量算法有效性的另一个指标是内存消耗。对于复杂的算法，如果其消耗的内存超过运行该算法的计算机的可用物理内存，则算法无法正常执行。
算法的内存消耗分析，又称为算法的空间复杂度（ Space Cconplexity）分析。
python语言面向对象特性的主要代价之一是内存消耗。
python的内存消耗与其在不同计算机上的实现有关。不同版本的python有可能使用不同方法实现同一种数据类型。
确定一个python程序内存使用的典型方法是，先统计程序使用的对象的数量，然后根据对象的类型乘以各对象占用的字节数。示例如下：
import sys >>>sys.getsizeof(100) # 28 >>>sys.getsizeof('abc') # 52 >>>sys.getsizeof(True) # 28
