迷宫(随机变量)

今天随机过程的课堂上,老师讲了一个运用“离散型全期望公式”的很好的例子,在此总结如下:

问题:该迷宫假设有四条路,如图。某人在五角星处,他走每一条路需要时间不同(单程),时间如图。只有一条路可以走出迷宫(图中正上方那条路)。假设这个人方向感很差,每次选择可能包含四种可能(即使刚走过的路也可能被选择)。计算该人平均走出迷宫的时间。我们可以设走每条路的时间为随机变量T,由于每次都可能选择死路,我们无法直接求其期望。

 

 

于是,我们可以再设一个随机变量X,表示该人选择了哪一条路。我们将图中四条路分别标为1、2、3、4,如图。

现在我们来求E(T),由随机变量的条件数学期望的性质,我们可以得到E(T) = E[E(T|X) ]  。有离散型全期望公式,我们可以得到:

E[E(T|X) ] = ∑ E(T|X = x) P{X = x}

       = P{X = 1} E(T|x = 1) + P{X = 2} E(T|x = 2) + P{X = 3} E(T|x = 3) + P{X = 4} E(T|x = 4)

每次选路等概,即1/4.于是我们得到:

上式 = 1/4 {E(T|x = 1) + E(T|x = 2)+ E(T|x = 3) + E(T|x = 4)}

由于第2、3、4号路,走到死路后要返回五角星,需要再次选路。故,可得:

上式 = 1/4 (T1 + 2*T2 + E(T) + 2*T3 + E(T) + 2*T4 + E(T))

相当于选择2号路只是增加了一个来回T2的时间,其他路相同。于是我们得到最后结果:

E(T) = 1/4 (T1 + 2*T2 + E(T) + 2*T3 + E(T) + 2*T4 + E(T))

E(T) = T1 + 2*T2 + 2*T3 + 2*T4

通过这道题,我们可以总结其思想。当一个随机变量无法解题时,可以选择考虑再设一个随机变量换角度思考。离散型全期望公式是个很重要的公式,在工程应用上也有很大的作用。

posted on 2012-09-25 21:56  初级业余程序员  阅读(324)  评论(0编辑  收藏  举报

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