BZOJ4881 线段游戏（二分图+树状数组/动态规划+线段树）

　　相当于将线段划分成两个集合使集合内线段不相交，并且可以发现线段相交等价于逆序对。也即要将原序列划分成两个单增序列。由dilworth定理，如果存在长度>=3的单减子序列，无解，可以先判掉。

　　这个时候有两种显然的暴力。

　　将点集划分成两部分使内部无边显然就是二分图，于是第一种暴力是在逆序对之间连边，答案即为2^{连通块个数}，因为每个连通块都可以交换黑白点。问题在于暴力连边是n²的，而显然实际有用的边其实只有O(n)条。考虑这样一种连边方式：每个点向后缀最小值、前缀第一个比他大的点连边。瞎归纳归纳就可以证明连这些边就够了。这个前缀第一个比他大的随便找都行，比如弄个bit。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100010
#define P 998244353
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,a[N],pre[N],suf[N],fa[N],tree[N],cnt;
inline void chkmax(int &x,int y){if (a[y]>a[x]) x=y;}
inline void chkmin(int &x,int y){if (a[y]<a[x]) x=y;}
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void ins(int k,int x){while (k<=n) tree[k]=min(tree[k],x),k+=k&-k;}
int query(int k){int s=n;while (k) s=min(s,tree[k]),k-=k&-k;return s;}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj4881.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4881.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,a[i]=read(),tree[i]=n+1;a[0]=0,a[n+1]=n+1;
    pre[0]=0;for (int i=1;i<=n;i++) chkmax(pre[i]=pre[i-1],i);
    suf[n+1]=n+1;for (int i=n;i>=1;i--) chkmin(suf[i]=suf[i+1],i);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (pre[i]!=i&&suf[i]!=i) {cout<<0;return 0;}
    else
    {
        if (suf[i]!=i) fa[find(i)]=find(suf[i]);
        if (pre[i]!=i) fa[find(i)]=find(query(n+1-a[i]));
        ins(n+1-a[i],i);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (find(i)==i) cnt++;
    int ans=1;while (cnt--) ans=(ans<<1)%P;
    cout<<ans;
    return 0;
}

　　另一种暴力是一个显然的dp，即设f[i][j]为dp到第i位时，不包含i的集合的最大值是第j个数的方案数。则有f[i][i-1]=Σf[i-1][j] (a[i]>a[j],j<i-1)，f[i][j]=f[i-1][j] (a[i]>a[i-1],j<i-1)。将dp数组看成一维的，显然就可以用线段树优化了，即开一棵以a[]为下标的线段树，对f[i][i-1]在线段树上查询前缀更新，如果a[i]<a[i-1]就给整个线段树清零。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100010
#define P 998244353
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,a[N],L[N<<2],R[N<<2],tree[N<<2],lazy[N<<2];
void update(int k){tree[k]=0,lazy[k]=1;}
void down(int k){update(k<<1),update(k<<1|1),lazy[k]=0;}
void up(int k){tree[k]=(tree[k<<1]+tree[k<<1|1])%P;}
void build(int k,int l,int r)
{
    L[k]=l,R[k]=r;
    if (l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
}
void add(int k,int p,int x)
{
    if (L[k]==R[k]) {tree[k]+=x;return;} 
    if (lazy[k]) down(k);
    int mid=L[k]+R[k]>>1;
    if (p<=mid) add(k<<1,p,x);
    else add(k<<1|1,p,x);
    up(k);
}
int query(int k,int l,int r) 
{
    if (L[k]==l&&R[k]==r) return tree[k];
    if (lazy[k]) down(k);
    int mid=L[k]+R[k]>>1;
    if (r<=mid) return query(k<<1,l,r);
    else if (l>mid) return query(k<<1|1,l,r);
    else return (query(k<<1,l,mid)+query(k<<1|1,mid+1,r))%P;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj4881.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4881.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    build(1,0,n);add(1,0,2);
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        int x=query(1,0,a[i]);
        if (a[i]<a[i-1]) update(1);
        add(1,a[i-1],x);
    }
    cout<<tree[1];
    return 0;
}