【bzoj1853】[Scoi2010]幸运数字 容斥原理+搜索

题目描述

在中国，很多人都把6和8视为是幸运数字！lxhgww也这样认为，于是他定义自己的“幸运号码”是十进制表示中只包含数字6和8的那些号码，比如68，666，888都是“幸运号码”！但是这种“幸运号码”总是太少了，比如在[1,100]的区间内就只有6个（6，8，66，68，86，88），于是他又定义了一种“近似幸运号码”。lxhgww规定，凡是“幸运号码”的倍数都是“近似幸运号码”，当然，任何的“幸运号码”也都是“近似幸运号码”，比如12，16，666都是“近似幸运号码”。 现在lxhgww想知道在一段闭区间[a, b]内，“近似幸运号码”的个数。

输入

输入数据是一行，包括2个数字a和b

输出

输出数据是一行，包括1个数字，表示在闭区间[a, b]内“近似幸运号码”的个数

样例输入

【样例输入1】
1 10
【样例输入2】
1234 4321

样例输出

【样例输出1】
2
【样例输出2】
809

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题解

容斥原理+搜索

首先“幸运号码”最多只有$2^1+2^2+...+2^{10}$个，因此可以把它们预处理出来。

然后要统计的就是这些数中是某数倍数的数，可以考虑容斥，无限制的-必须是1个的倍数的+必须是2个的倍数的-...得到不符合条件的。

而$[1,n]$中$x$的倍数有$\lfloor\frac nx\rfloor$个，因此可以直接$O(1)$得出。

那么直接搜索+Lcm即可。

但是这样做会TLE，需要优化。

考虑：如果$x$是$y$的倍数，那么$x$对答案的贡献一定为0。因此可以先筛掉所有倍数，然后再dfs即可。

时间复杂度$O(玄学)=O(能过)$

由于求Lcm可能会爆long long，因此使用了long double。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll w[5000] , a , b , ans;
int n = -1;
bool cmp(ll a , ll b) {return a > b;}
void init(ll x)
{
	if(x > b) return;
	w[++n] = x;
	init(x * 10 + 6) , init(x * 10 + 8);
}
ll gcd(ll a , ll b)
{
	return b ? gcd(b , a % b) : a;
}
void calc(int p , long double now , int flag)
{
	if(now > b) return;
	ll t = now;
	long double tmp;
	ans += (b / t - a / t) * flag;
	int i;
	for(i = p + 1 ; i <= n ; i ++ )
		if((tmp = now * w[i] / gcd(t , w[i])) <= b)
			calc(i , tmp , -flag);
}
int main()
{
	int i , j;
	scanf("%lld%lld" , &a , &b) , a -- ;
	init(0);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
			if(i != j && w[j] && w[i] % w[j] == 0)
				w[i] = 0;
	sort(w + 1 , w + n + 1 , cmp);
	for(n = 0 ; w[n + 1] ; n ++ );
	calc(0 , 1 , 1);
	printf("%lld\n" , b - a - ans);
	return 0;
}