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【bzoj3132】上帝造题的七分钟 二维树状数组区间修改区间查询

题目描述

“第一分钟,X说,要有矩阵,于是便有了一个里面写满了0的n×m矩阵。

 第二分钟,L说,要能修改,于是便有了将左上角为(a,b),右下角为(c,d)的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。

 第三分钟,k说,要能查询,于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。

 第四分钟,彩虹喵说,要基于二叉树的数据结构,于是便有了数据范围。

 第五分钟,和雪说,要有耐心,于是便有了时间限制。

 第六分钟,吃钢琴男说,要省点事,于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。

 第七分钟,这道题终于造完了,然而,造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”

       ——《上帝造裸题的七分钟》

所以这个神圣的任务就交给你了。

输入

输入数据的第一行为X n m,代表矩阵大小为n×m。

从输入数据的第二行开始到文件尾的每一行会出现以下两种操作:

L a b c d delta —— 代表将(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内的所有数字加上delta。

k a b c d   —— 代表求(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内所有数字的和。

请注意,k为小写。

输出

针对每个k操作,在单独的一行输出答案。

样例输入

X 4 4
L 1 1 3 3 2
L 2 2 4 4 1
k 2 2 3 3

样例输出

12


题解

二维树状数组区间修改区间查询

头一次知道树状数组还能实现区间修改区间查询~

我们先考虑一维的情况:树状数组的本质是O(logn)维护前缀和,前缀相减可以得到区间和。

而又有一种区间修改单点查询的方法:差分。

d[i]=a[i]a[i1],那么a[i]=(a[i]a[i1])+(a[i1]a[i2])+...+(a[1]a[0])=ni=1d[i],于是可以按照相同的方法维护差分数组的前缀和,修改的时候直接将l加上,r+1减去即可。

那么对于区间查询呢?我们还是引入差分的思想,则ni=1a[i]=ni=1ij=1d[j]=nj=1(n+1j)d[j]=(n+1)nj=1d[j]nj=1j·d[j]。所以维护两个树状数组,一个维护d[j]的前缀和,一个维护j*d[j]的前缀和就可以了。

那么对于本题变成二维的呢?其实也是一样的。

还是使用差分的方法,a[n][m]=ni=1mj=1d[i][j]ni=1mj=1a[i][j]=ni=1mj=1ik=1jl=1d[k][l]=nk=1ml=1(n+1k)(m+1l)d[k][l]

展开什么的,自己动手丰衣足食

然后开4个树状数组即可。修改和查询时使用容斥原理拆成4段来完成。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 2055
using namespace std;
int n , m;
char str[5];
struct data
{
    int f[N][N];
    void update(int x , int y , int a)
    {
        int i , j;
        for(i = x ; i <= n ; i += i & -i)
            for(j = y ; j <= m ; j += j & -j)
                f[i][j] += a;
    }
    int query(int x , int y)
    {
        int i , j , ans = 0;
        for(i = x ; i ; i -= i & -i)
            for(j = y ; j ; j -= j & -j)
                ans += f[i][j];
        return ans;
    }
}A , B , C , D;
void modify(int x , int y , int z)
{
    A.update(x , y , z) , B.update(x , y , x * z) , C.update(x , y , y * z) , D.update(x , y , x * y * z);
}
int solve(int x , int y)
{
    return (x + 1) * (y + 1) * A.query(x , y) - (y + 1) * B.query(x , y) - (x + 1) * C.query(x , y) + D.query(x , y);
}
int main()
{
    int x1 , y1 , x2 , y2 , z;
    scanf("%*s%d%d" , &n , &m);
    while(~scanf("%s%d%d%d%d" , str , &x1 , &y1 , &x2 , &y2))
    {
        if(str[0] == 'L')
        {
            scanf("%d" , &z) , x2 ++ , y2 ++ ;
            modify(x1 , y1 , z) , modify(x2 , y1 , -z) , modify(x1 , y2 , -z) , modify(x2 , y2 , z);
        }
        else x1 -- , y1 -- , printf("%d\n" , solve(x1 , y1) - solve(x2 , y1) - solve(x1 , y2) + solve(x2 , y2));
    }
    return 0;
}

 

 

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