codeforces 379F-New Year Tree

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题意：原始有一棵根为１，有三个叶子２，３，４的树。有n个操作，每次可以在一个叶子下面续上两个节点，每次操作完问当前树的直径。

 

思路：先预处理出树的直径，以及其中一条直径两端的点l,r，对于新加的点，只需计算其与两端的距离（倍增LCA），若大于ans，则更新直径l或r，否则就不变

证明：假设加上点x后直径长为ans+1，因为x仅有一条边连它的父亲f，所以从f出发最远点距离为ans，即没加上点x前f为其中一条直径的端点。

           因为各个直径两两相交（否则定可以在上方找到一条把两直径连起来，使直径更长），两直径前后两端不同区间一样长，所以从f出发到l,r定有一个距离为ans，所以这样的更新是没有反例的

 

补：树的直径dfs方法证明

1    设u为s-t路径上的一点，结论显然成立，否则设搜到的最远点为T（往下走）则

dis(u,T) >dis(u,s)     且  dis(u,T)>dis(u,t)   则最长路不是s-t了，与假设矛盾

2   设u不为s-t路径上的点

    首先明确，假如u走到了s-t路径上的一点，那么接下来的路径肯定都在s-t上了，而且终点为s或t，在1中已经证明过了

    所以现在又有两种情况了：

    1：u走到了s-t路径上的某点，假设为X，最后肯定走到某个端点，假设是t ，则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)

    2：u走到最远点的路径u-T与s-t无交点，则dis(u,T) >dis(u,X)+dis(X,t);显然，如果这个式子成立，

    则dis(s,X)+dis(X,u)+dis(u,T)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t)  即dis(s,T)>dis(s,t) 最长路不是s-t矛盾    （摘自https://blog.csdn.net/frankax/article/details/79514778）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=(int)(2e9);
const ll INF=(ll)(5e18);
const int N=1000010;//pay attention to the size of the array!!!
const int M=30;

int n,l,r,num,ans;
int father[N][30],d[N];
vector<int> v[N];

void add_edge(int x,int y)
{
    v[x].push_back(y);
    father[y][0]=x;
    for(int i=1;i<M;i++) father[y][i]=father[father[y][i-1]][i-1];
    d[y]=d[x]+1;
}

void init()
{
    num=5;
    memset(father,0,sizeof(father));
    for(int i=0;i<M;i++) father[1][i]=1;
    d[1]=0; d[2]=d[3]=d[4]=1;
}

int LCA(int x,int y)
{
    if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
    int dst=d[x]-d[y];
    for(int i=M-1;i>=0;i--)
    {
        int tmp=(1<<i);
        if(tmp<=dst)
        {
            dst-=tmp;
            x=father[x][i];
        }
    }
    for(int i=M-1;i>=0;i--)
    {
        if(father[x][i]==father[y][i]) continue;
        x=father[x][i]; y=father[y][i];
    }
    return father[x][0];
}

int dis(int x,int y)
{
    if(x==y) return 0;
    int f=LCA(x,y);
    return d[x]+d[y]-d[f]*2;
}

void solve(int x)
{
    if(dis(x,l)>ans)
    {
        ans=dis(x,l);
        r=x;//don't confuse the order of l&r
    }
    if(dis(x,r)>ans) 
    {
        ans=dis(x,r);
        l=x;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    for(int i=2;i<=4;i++)
    {
        add_edge(1,i);
    }
    l=2,r=4,ans=2;
    while(n--)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        add_edge(x,num);
        add_edge(x,num+1); 
        solve(num); 
        num+=2;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}