数字特征：方差
【引入】
有一批灯泡，知其平均寿命是 $E(X)=1000$ （小时）。仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏。
事实上，有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950~1050小时；
也有可能其中约有一半是高质量的，它们的寿命大约有1300小时，另一半却是质量很差的，其寿命大约只有700小时，
为要评定这批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯泡的寿命 $X$ 与其平均值 $E(X)=1000$ 的偏离程度。
若偏离程度较小，表示质量比较稳定。从这个意义上来说，我们认为质量较好。
前面也曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。
由此可见，研究随机变量与其构成的偏离程度是必要的。
那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？
容易看到 $E\{ |X-E(X)|\}$ 能度量随机变量与其均值 $E(X)$ 的偏离程度，
但由于上式带有绝对值，运算不方便，为运算方便起见，通常用量 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 来度量随机变量X与其均值 $E(X)$ 的偏离程度。
【定义】
设 $X$ 是一个随机变量，若 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 存在，则称 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$，
即
$$D(X)=Var(X)=E\{ [X-E(X)]^2\}\tag{2.1}$$
在应用上还引入量 $\sqrt{D(X)}$ ，记为 $\sigma (X)$ ，称为标准差或均方差。
【含义】
按定义，随机变量 $X$ 的方差表达了 $X$ 的取值与其数学期望的偏离程度。
若 $D(X)$ 较小意味着 $X$ 的取值比较集中在 $E(X)$ 的附近，反之，若 $D(X)$ 较大则表示 $X$ 的取值较分散。
因此， $D(X)$ 是刻画 $X$ 取值分散程度的一个量，它是衡量 $X$ 取值分散程度的一个尺度。
【定义】
由定义知，方差实际上就是随机变量 $X$ 的函数 $g(X)=(X-E(X))^2$ 的数学期望。
于是对于离散型随机变量，按（1.3）式有
$$D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2p_k\tag{2.2}$$
其中，$P\{ X=x_k\}=p_k,k=1,2,…$ 是 $X$ 的分布律
对于连续型随机变量，按（1.4）式有
$$D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx\tag{2.3}$$
其中 $f(x)$ 是 $X$ 的概率密度
【计算】
随机变量 $X$ 的方差可按下列公式计算
$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\tag{2.4}$$
证：（省略，日后再补）
【例1】标准化变量
设随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X)=\mu$ ，方差 $D(X)=\sigma ^2\neq 0$ 。
记
$$X^*=\frac{X-\mu}{\sigma}$$
则
$$E(X^*)=\frac{1}{\sigma}E(X-\mu)=\frac{1}{\sigma}[E(X)-\mu ]=0;$$
$$D(X^*)=E(X^*)-[E(X^*)]^2=E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^2]$$
$$=\frac{1}{\sigma ^2}E[(X-\mu )^2]=\frac{\sigma ^2}{\sigma ^2}=1$$
即 $X^*=\frac{X-\mu}{\sigma}$ 的数学期望为0，方差为1. $X^*$ 称为 $X$ 的标准化变量。
【例2】（离散）（0-1）分布
设随机变量 $X$ 具有（0-1）分布，其分布律为 $P\{ X=0\} =1-p,\quad P\{ X=1\}=p$ ，求 $D(X)$ 。
解：
$$E(X)=0·(1-p)+1·p=p$$
$$E(X^2)=o^2·(1-p)+1^2·p=p$$
由（2.4）式，
$$D(X)=E(X^2)-[E(x)]^2=p-p^2=p(1-p)$$
【例3】（离散）泊松分布
设随机变量 $X\sim \pi (\lambda)$，求 $D(X)$
解：随机变量 $X$ 的分布律为
$$P \{ X=k\} =\frac{\lambda ^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,…,\lambda >0$$
上节【例6】已算得 $E(X)=\lambda$ ，而
$$E(X^2)=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X)\qquad \qquad \qquad \quad \ $$
$$=\sum\limits_{k=0}^{\infty}k(k-1)\frac{\lambda ^ke^{}-\lambda}{k!}+\lambda=\lambda^2e^{-\lambda}\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda$$
$$=\lambda^2e^{-\lambda}e^{\lambda}+\lambda=\lambda^2+\lambda\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \$$
所以方差
$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$$
由此可知，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于参数 $\lambda$
因为泊松分布只包含一个参数 $\lambda$ 只要知道它的数学期望和方差就能完全确定它的分布了。
【例4】（连续）均匀分布
设随机变量 $X\sim U(a,b)$，求 $D(X)$
解：$X$ 的概率密度为
$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},& \textrm{a<x<b}\\ 0,& \textrm{其他}\end{cases}$$
上节【例7】已算得 $E(X)=\frac{a+b}{2}$，方差为
$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$
$$=\int_{a}^{b}x^2\frac{1}{b-a}dx-(\frac{a+b}{2})^2=\frac{(b-a)^2}{12}$$
【例5】（连续）指数分布
设随机变量 $X$ 服从指数分布，其概率密度为
$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{1\frac{-x}{\theta}},& \textrm{x>0}\\ 0,& textrm{x\leq 0}\end{cases}$$
其中 $\theta >0$，求 $E(X),D(X)$ 。
解：
$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{\infty}e^{\frac{-x}{\theta}}dx$$
$$=\left .-xe^{\frac{-x}{\theta}}\right |_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{\frac{-x}{\theta}}dx=\theta$$
$$$$
方差的性质
1.设 $C$ 是常数，则 $D(C)=0$
证：
2.设 $X$ 是随机变量，$C$ 是常数，则有 $D(CX)=C^2D(X),\qquad D(X+C)=D(X)$
证：
3.设 $X,Y$ 是两个随机变量，则有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{ (X-E(X)(Y-E(Y)))\}\tag{2.5}$
特别，若 $X,Y$ 相互独立，则有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)\tag{2.6}$
这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。
证：
4. $D(X)=0$ 的充要条件是 $X$ 以概率1取常数 $E(X)$ ，即 $P\{ X=E(X)\} =1$
证：
【例6】（离散）二项分布
【例7】（连续）正态分布
【例8】
【定理】切比雪夫不等式
证：（省略，日后再补）
