谱聚类(spectral clustering)

1. 谱聚类

      给你博客园上若干个博客，让你将它们分成K类，你会怎样做？想必有很多方法，本文要介绍的是其中的一种——谱聚类。
      聚类的直观解释是根据样本间相似度，将它们分成不同组。谱聚类的思想是将样本看作顶点，样本间的相似度看作带权的边，从而将聚类问题转为图分割问题：找到一种图分割的方法使得连接不同组的边的权重尽可能低（这意味着组间相似度要尽可能低），组内的边的权重尽可能高（这意味着组内相似度要尽可能高）。将上面的例子代入就是将每一个博客当作图上的一个顶点，然后根据相似度将这些顶点连起来，最后进行分割。分割后还连在一起的顶点就是同一类了。更具体的例子如下图所示：

在上图中，一共有6个顶点（博客），顶点之间的连线表示两个顶点的相似度，现在要将这图分成两半（两个类），要怎样分割（去掉哪边条）？根据谱聚类的思想，应该去掉的边是用虚线表示的那条。最后，剩下的两半就分别对应两个类了。
      根据这个思想，可以得到unnormalized谱聚类和normalized谱聚类，由于前者比后者简单，所以本文介绍unnormalized谱聚类的几个步骤（假设要分K个类）：
(a)建立similarity graph，并用 W 表示similarity graph的带权邻接矩阵
(b)计算unnormalized graph Laplacian matrix L(L = D - W, 其中D是degree matrix)
(c)计算L的前K个最小的特征向量
(d)把这k个特征向量排列在一起组成一个N*k的矩阵，将其中每一行看作k维空间中的一个向量，并使用 K-means 算法进行聚类

 

2. 算法原理解析

     这一节主要从大体上解释unnormalized谱聚类的四个步骤是怎么来的，不涉及具体的公式推导。
(a)谱聚类的思想就是要转化为图分割问题。因此，第一步就是将原问题转化为图。转为图有两个问题要解决：一是两个顶点的边要怎样定义；二是要保留哪些边。
      对于第一个问题，如果两个点在一定程度上相似，就在两个点之间添加一条边。相似的程度由边的权重表示（上图中边上面的数值就是权重了）。因此，只要是计算相似度的公式都可用，不过常用的是Gaussian similarity function
      要保留部分边的原因有：边太多了不好处理；权重太低的边是多余的。常用的保留边的方法是建立k-nearest neighbor graph。在这种图中，每个顶点只与K个相似度最高的点连边。

 

(b)unnormalized graph Laplacian matrix(以下用L表示)有很多很好的性质，也正是这个原因，才要在第二步中计算这么一个矩阵。最重要的性质是下面这一组性质：

这一组性质将在之后的公式推导中起到决定性作用。

 

(c)将原问题转化为图后，接下来的工作就是决定怎样分割了。图分割问题实际上就是最小割问题(mincut problem)。最小割问题可定义为最小化以下目标函数：

其中k表示分成k个组，Ai表示第i个组，表示第Ai的补集，W(A,B)表示第A组与第B组之间的所有边的权重之和。
      这个式子的直观意义：如果要分成K个组，那么其代价就是进行分割时去掉的边的权重的总和。可惜的是直接最小化这式子通常会导致不好的分割。以分成2类为例，这个式子通常会将图分成这样的两类：一个点为一类，剩下的所有点为另一类。显然，这样的分割是很不好的。因为我们期望着每个类都有合理的大小。所以，要对这个式子进行改进，改进后的公式（称为RatioCut)如下：

其中|A|表示A组中包含的顶点数目。
      在RatioCut中，如果某一组包含的顶点数越少，那么它的值就越大。在一个最小化问题中，这相当于是惩罚，也就是不鼓励将组分得太小。现在只要将最小化RatioCut解出来，分割就完成了。不幸的是，这是个NP难问题。想要在多项式时间内解出来，就要对这个问题作一个转化了。在转化的过程中，就用到上面提到的L的那一组性质，经过若干推导，最后可以得到这样的一个问题：

其中H是一个矩阵，它的元素的定义(Eq.(5))如下：

      如果H矩阵的元素不为0，则说明第i个点属于第j个类。也就是说，只要得到H矩阵，就能知道要怎样分割了。可惜的是，这个问题仍然是NP难问题。但是，如果我们让H矩阵的元素能够取任意值，这个问题就变成多项式时间内可解的了，此时问题变为：

      根据Rayleigh-Ritz theorem，这个问题的解是L的前k个最小的特征向量组成的矩阵H，其中特征向量是按列来排，即H的每一列，均为一个特征向量。

 

(d)在第三步中，我们为了松驰NP难问题，让H矩阵取任意值，因此，解出来的H矩阵不再具有原来的性质——元素值能指出哪个点属于哪一类。尽管如此，对于k-means来说，将H矩阵的每一行当作一个点进行聚类还是挺轻松的。因此，用k-means对H矩阵进行聚类作为谱聚类的最终结果。

 

3. 谱聚类的实现

     以下是unnormalized谱聚类的MATLAB版实现（博客园的代码格式选择中居然没有Matlab的。。。这里选个C++的）：

function [ C, L, D, Q, V ] = SpectralClustering(W, k)
% spectral clustering algorithm
% input: adjacency matrix W; number of cluster k 
% return: cluster indicator vectors as columns in C; unnormalized Laplacian L; degree matrix D;
%         eigenvectors matrix Q; eigenvalues matrix V

% calculate degree matrix
degs = sum(W, 2);
D = sparse(1:size(W, 1), 1:size(W, 2), degs);

% compute unnormalized Laplacian
L = D - W;

% compute the eigenvectors corresponding to the k smallest eigenvalues
% diagonal matrix V is NcutL's k smallest magnitude eigenvalues 
% matrix Q whose columns are the corresponding eigenvectors.
[Q, V] = eigs(L, k, 'SA');

% use the k-means algorithm to cluster V row-wise
% C will be a n-by-1 matrix containing the cluster number for each data point
C = kmeans(Q, k);

% convert C to a n-by-k matrix containing the k indicator vectors as columns
C = sparse(1:size(D, 1), C, 1);

end

 

4. 相关资料

     如果想更好地了解谱聚类的话，强烈推荐[1]；如果想全面地了解聚类的话，强烈推荐[2]
[1]A Tutorial on Spectral Clustering
[2]漫谈 Clustering 系列