回溯法·递归 - 八皇后问题 Eight queens puzzle

问题描述：

在8X8格的国际象棋棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

 

问题引申：

在n*n格的国际象棋棋盘上摆放n个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

 

算法思路：

实现一个逐行逐行地放置皇后的函数

在第X行中的一格放上一个皇后

判断这个皇后和前几行的皇后等否互相攻击，如果能则拿起来重新放到下一列，直到不会和前几行的皇后相互攻击后，再转到X+1行继续放皇后

然后递归调用该函数来解该问题。

 

最初我考虑的是建立一个n*n的数组表示一个棋盘，每个元素代表一个方格，通过不同的值来表示格子有没有放皇后和会不会被其他皇后攻击。

后来发现其实完全没有必要那么复杂_(:з」∠)_。只需要用一维数组就能表示所有皇后的的位置：

int Queen[MAX];

例如Queen[index]，index的值表示行数，Queen[index]的值表示列数，那么Queen[3] = 4就表示第三行、第四列有一个皇后。那么通过判断Queen[i]和Queen[j]的值是否相等就能知道i,j两个皇后是不是在同一列了。

 

那么又该怎么判断i和j两个皇后是不是在同一斜线上呢？

我想到了中学学到的一元一次函数。

y = a * x + b

a是斜率，b是截距。很容易就知道棋盘中的斜线的斜率全都是1或-1，那么判断两个皇后是不是在同一斜线上，只需要判断b是否相等就行了。

斜率为1时 b = y - x，为-1时， b = y + x 。我用两个数组分别记录1和-1的情况：

int PlusB[MAX];
int MinusB[MAX];

Queen[index] = i;
PlusB[index] = index - i;
MinusB[index] = index + i;

那么很容易地，通过判断PlusB[i]和PlusB[j]，MinusB[i]和MinusB[j]是否相等就能知道i，j两个皇后是不是在同一条斜线上了。

 

如此，就能得到判断一个皇后会不会和前几行的皇后相互攻击的函数了：

 

bool Attack( int index )
{
    for (int i = 0; i < index; i++)
    if (Queen[i] == Queen[index] || PlusB[i] == PlusB[index] || MinusB[i] == MinusB[index])
        return true;
    return false;
}

 

 

那么递归调用的放置皇后的函数也很轻松地就实现了：

void PutQueen( int index )
{
    if (index == n)
    {
        Result++;
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        Queen[index] = i;
        PlusB[index] = index - i;
        MinusB[index] = index + i;
        if (!Attack( index )) PutQueen( index + 1 );
    }
}

通过index表示行数，即在第index行上放置皇后，每次判断皇后会否互相攻击，若不会，则index+1后递归调用函数，如果会攻击则换一列放置皇后。直到index == n，则给结果加一并回溯一步换一列放置皇后，或者试完第index行的所有列了，又会回溯到上一步。

 

整个程序的代码如下：

#include <fstream>

using namespace std;

int n = 0;            // Number of Queens
int Result = 0;
const int MAX = 100;
int Queen[MAX];
int PlusB[MAX];
int MinusB[MAX];
FILE *fp;

void OutPut( );
bool Attack( int index );
void PutQueen( int index );

int main()
{
    printf( "Input the number of queens: " );
    scanf( "%d", &n );
    fp = fopen( "Result.txt", "w" );
    int index = 0;
    if (n >= 4 && n <= 100)
        PutQueen( index );
    else
        printf( "Out of Range!\n" );
    fclose( fp );
    printf( "The %d queens puzzle has %d distinct solutions.\n", n, Result );
    return 0;
}

void OutPut()　　　　// Output to files
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < Queen[i]; j++)
            fprintf( fp, " %d", 0 );
        fprintf( fp, " %d", 1 );
        for (int k = Queen[i] + 1; k < n; k++)
            fprintf( fp, " %d", 0 );
        fprintf( fp, "\n" );
    }
    fprintf( fp, "\n" );
}

bool Attack( int index )
{
    for (int i = 0; i < index; i++)
    if (Queen[i] == Queen[index] || PlusB[i] == PlusB[index] || MinusB[i] == MinusB[index])
        return true;
    return false;
}

void PutQueen( int index )
{
    if (index == n)
    {
        Result++;
        OutPut();
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        Queen[index] = i;
        PlusB[index] = index - i;
        MinusB[index] = index + i;
        if (!Attack( index )) PutQueen( index + 1 );
    }
}