poj3641(学习了)
素数的测试:
费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.
利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n很可能是素数.
二次探测定理:如果n是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或 x=p-1.
利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.
如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数(若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式),q是非负整数,考察下面的测试:
序列:
a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n
把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:
定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真. Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).
借鉴别人的,虚心学习
费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.
利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n很可能是素数.
二次探测定理:如果n是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或 x=p-1.
利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.
如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数(若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式),q是非负整数,考察下面的测试:
序列:
a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n
把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:
定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真. Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).
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#include<iostream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int TIME=12; //Miller测试次数
__int64 mod_mult(__int64 a, __int64 b, __int64 n) //计算(a*b)%n
{
__int64 s = 0;
a=a%n;
while(b)
{
if(b & 1)
{
s += a;
s%=n;
}
a = a<<1;
a%=n;
b = b >> 1;
}
return s;
}
__int64 mod_exp(__int64 a, __int64 b, __int64 n) //计算(a^b)%n
{
__int64 d= 1;
a=a%n;
while(b>=1)
{
if(b&1)
d=mod_mult(d,a,n);
a =mod_mult(a, a, n);
b = b>> 1;
}
return d;
}
bool Wintess(__int64 a, __int64 n) //以a为基对n进行Miller测试并实现二次探测
{
__int64 m,x,y;
int i,j=0;
m=n-1;
while(m%2==0) //计算(n-1)=m*(2^j)中的j和m,j=0时m=n-1,不断的除以2直至n为奇数
{
m=m>>1;
j++;
}
x= mod_exp(a,m,n);
for(i= 1;i<=j;i++)
{
y= mod_exp(x,2,n);
if((y==1)&&(x!=1)&&(x!= n - 1)) //二次探测
return true; //返回true时,n是合数
x=y;
}
if(y!= 1)
return true;
return false;
}
bool miller_rabin(__int64 n,int times) //对n进行s次的Miller测试
{
__int64 a;
int i;
if(n==1)
return false;
if(n==2)
return true;
if(n%2==0)
return false;
srand(time(NULL));
for(i=1;i<=times;i++)
{
a = rand()%(n - 1)+1;
if(Wintess(a, n))
return false;
}
return true;
}
int main()
{
__int64 a,p,tmp;
bool prime;
while(scanf("%I64d%I64d",&p,&a)!=EOF)
{
if(a==0&&p==0)
break;
prime=miller_rabin(p,TIME);
if(!prime) //p不是素数,则判断(a^p)%p=a是否成立
{
tmp=mod_exp(a,p,p);
if(tmp==a)
printf("yes\n");
else
printf("no\n");
}
else
printf("no\n");
}
system("pause");
return 0;
}