习题

1.求证:切比雪夫-拉盖尔(Chebyshev-Laguerre)多项式
\[L_{n}(x)=\mathrm{e}^{x} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d} x^{n}}\left(x^{n} \mathrm{e}^{-x}\right)\]
有$n$个不同的零点.

2.求证:切比雪夫-埃尔米特(Chebyshev-Hermite)多项式
\[H_{n}(x)=(-1)^{n} \frac{1}{n !} e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)\]
有$n$个不同的零点.

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1.注意到$x=0$是$L_n(x)$的$n$重零点,而且$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left(x^{n} \mathrm{e}^{-x}\right)=0\,(k=1,2,\cdots,n)$.

2.注意到$\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d} x^{k}}\left(\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)=0\,(k=1,2, \cdots, n)$.