约瑟夫环问题两解
继续笔试准备ing……分享一下昨天做到的其中一题，其实题目很老，也做过n遍了，但复习起来也是颇有韵味，同时还发现另一种妙解，感觉不错的。
问题描述：
约瑟夫环问题(Josephus)
用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
解法一(My Solution)：
思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码：
思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。
问题描述：
约瑟夫环问题(Josephus)
用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
解法一(My Solution)：
思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码：
1 /*
2 约瑟夫环问题(Josephus)
3 用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
4 Code By Eric Yang 2009
5 http://ericyang.cnblogs.com
6 */
7 #include <stdio.h>
8 #include <stdlib.h>
9
10 // 链表节点
11 typedef struct _RingNode
12 {
13 int pos; // 位置
14 struct _RingNode *next;
15 }RingNode, *RingNodePtr;
16
17 // 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数
18 void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)
19 {
20 RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;
21 int i = 1;
22 pPrev = pHead;
23 while(--count > 0)
24 {
25 pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
26 i++;
27 pCurr->pos = i;
28 pPrev->next = pCurr;
29 pPrev = pCurr;
30 }
31 pCurr->next = pHead; // 构成环状链表
32 }
33
34 void PrintRing(RingNodePtr pHead)
35 {
36 RingNodePtr pCurr;
37 printf("%d", pHead->pos);
38 pCurr = pHead->next;
39 while(pCurr != NULL)
40 {
41 if(pCurr->pos == 1)
42 break;
43 printf("\n%d", pCurr->pos);
44 pCurr = pCurr->next;
45 }
46 }
47
48 void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)
49 {
50 RingNodePtr pCurr, pPrev;
51 int i = 1; // 计数
52 pCurr = pPrev = pHead;
53 while(pCurr != NULL)
54 {
55 if (i == m)
56 {
57 // 踢出环
58 printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序
59 pPrev->next = pCurr->next;
60 free(pCurr);
61 pCurr = pPrev->next;
62 i = 1;
63 }
64 pPrev = pCurr;
65 pCurr = pCurr->next;
66 if (pPrev == pCurr)
67 {
68 // 最后一个
69 printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序
70 free(pCurr);
71 break;
72 }
73 i++;
74 }
75 }
76
77 int main()
78 {
79 int m = 0, n = 0;
80 RingNodePtr pHead = NULL;
81 printf("---------------Josephus Ring---------------\n");
82 printf("N(person count) = ");
83 scanf("%d", &n);
84 printf("M(out number) = ");
85 scanf("%d", &m);
86 if(n <= 0 || m <= 0)
87 {
88 printf("Input Error\n");
89 system("pause");
90 return 0;
91 }
92 // 建立链表
93 pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
94 pHead->pos = 1;
95 pHead->next = NULL;
96 CreateRing(pHead, n);
97 #ifdef _DEBUG
98 PrintRing(pHead);
99 #endif
100
101 // 开始出圈
102 printf("\nKick Order: ");
103 KickFromRing(pHead, m);
104 printf("\n");
105 system("pause");
106 return 0;
107 }
108
解法二(From Net)：2 约瑟夫环问题(Josephus)
3 用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
4 Code By Eric Yang 2009
5 http://ericyang.cnblogs.com
6 */
7 #include <stdio.h>
8 #include <stdlib.h>
9
10 // 链表节点
11 typedef struct _RingNode
12 {
13 int pos; // 位置
14 struct _RingNode *next;
15 }RingNode, *RingNodePtr;
16
17 // 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数
18 void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)
19 {
20 RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;
21 int i = 1;
22 pPrev = pHead;
23 while(--count > 0)
24 {
25 pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
26 i++;
27 pCurr->pos = i;
28 pPrev->next = pCurr;
29 pPrev = pCurr;
30 }
31 pCurr->next = pHead; // 构成环状链表
32 }
33
34 void PrintRing(RingNodePtr pHead)
35 {
36 RingNodePtr pCurr;
37 printf("%d", pHead->pos);
38 pCurr = pHead->next;
39 while(pCurr != NULL)
40 {
41 if(pCurr->pos == 1)
42 break;
43 printf("\n%d", pCurr->pos);
44 pCurr = pCurr->next;
45 }
46 }
47
48 void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)
49 {
50 RingNodePtr pCurr, pPrev;
51 int i = 1; // 计数
52 pCurr = pPrev = pHead;
53 while(pCurr != NULL)
54 {
55 if (i == m)
56 {
57 // 踢出环
58 printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序
59 pPrev->next = pCurr->next;
60 free(pCurr);
61 pCurr = pPrev->next;
62 i = 1;
63 }
64 pPrev = pCurr;
65 pCurr = pCurr->next;
66 if (pPrev == pCurr)
67 {
68 // 最后一个
69 printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序
70 free(pCurr);
71 break;
72 }
73 i++;
74 }
75 }
76
77 int main()
78 {
79 int m = 0, n = 0;
80 RingNodePtr pHead = NULL;
81 printf("---------------Josephus Ring---------------\n");
82 printf("N(person count) = ");
83 scanf("%d", &n);
84 printf("M(out number) = ");
85 scanf("%d", &m);
86 if(n <= 0 || m <= 0)
87 {
88 printf("Input Error\n");
89 system("pause");
90 return 0;
91 }
92 // 建立链表
93 pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));
94 pHead->pos = 1;
95 pHead->next = NULL;
96 CreateRing(pHead, n);
97 #ifdef _DEBUG
98 PrintRing(pHead);
99 #endif
100
101 // 开始出圈
102 printf("\nKick Order: ");
103 KickFromRing(pHead, m);
104 printf("\n");
105 system("pause");
106 return 0;
107 }
108
思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1 #include <stdio.h>
2 int main()
3 {
4 int n, m, i, s = 0;
5 printf ("N M = ");
6 scanf("%d%d", &n, &m);
7 for (i = 2; i <= n; i++)
8 {
9 s = (s + m) % i;
10 }
11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。2 int main()
3 {
4 int n, m, i, s = 0;
5 printf ("N M = ");
6 scanf("%d%d", &n, &m);
7 for (i = 2; i <= n; i++)
8 {
9 s = (s + m) % i;
10 }
11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }
相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。
