Leetcode: Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

思想难度：99，操作难度：50。思想大于行动的一项有力证明。这是一道非常经典的动态规划的题目，用到的思路我们在别的动态规划题目中也很常用，以后我们称为”局部最优和全局最优解法“。差不多的DP问题参见：Jump Game, Jump Game II
基本思路是这样的，在每一步，我们维护两个变量，一个是全局最优，就是到当前元素为止最优的解是，一个是局部最优，就是必须包含当前元素的最优的解。接下来说说动态规划的递推式（这是动态规划最重要的步骤，递归式出来了，基本上代码框架也就出来了）。假设我们已知第i步的global[i]（全局最优）和local[i]（局部最优），那么第i步的表达式是：
local[i]=Math.max(A[i], local[i-1]+A[i])，就是局部最优是一定要包含当前元素，所以不然就是上一步的局部最优local[i-1]+当前元素A[i]（因为local[i-1]一定包含第i-1个元素，所以不违反条件），但是如果local[i-1]是负的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i]=Math(local[i],global[i])，有了当前一步的局部最优，那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优（所有情况都会被涵盖进来，因为最优的解如果不包含当前元素，那么前面会被维护在全局最优里面，如果包含当前元素，那么就是这个局部最优）。

接下来我们分析一下复杂度，时间上只需要扫描一次数组，所以时间复杂度是O(n)。空间上我们可以看出表达式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的结果，所以我们在实现中可以用一个变量来迭代这个结果，不需要是一个数组，也就是如程序中实现的那样，所以空间复杂度是两个变量（local和global），即O(2)=O(1)

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        // local[i] = max(local[i-1] + nums[i], nums[i])
        // global[i] = max(global[i-1], local[i])
        int local = nums[0];
        int global = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            local = Math.max(local + nums[i], nums[i]);
            global = Math.max(global, local);
        }
        return global;
    }
}