模拟退火算法从原理到实战【基础篇】

　　模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

模拟退火算法的模型 　　

模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 　

模拟退火的基本思想: 　　

(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L 　　

(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步： 　　

(3) 产生新解S′ 　　

(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数 　　

(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. 　　

(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。 终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 　　

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。 

模拟退火的算法流程图如下:

 

 

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤： 　　

第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 　　

第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。 　　

第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。 　　

第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。 　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性

如果你对退火的物理意义还是晕晕的，没关系我们还有更为简单的理解方式。想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

 

模拟退火其实也是一种Greedy算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变数,k为Boltzmann常数。Metropolis准则常表示为

 

Metropolis准则表明，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。所以P和T正相关。这条公式就表示：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（因为退火的过程是温度逐渐下降的过程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。
我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。也就是说，在用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值 f，温度T演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火演算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或丢弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子Δt 、每个 t 值时的迭代次数L和停止条件S。

总结起来就是：

• 若f( Y(i+1) ) <= f( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动；
• 若f( Y(i+1) ) > f( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）相当于上图中，从B移向BC之间的小波峰时，每次右移（即接受一个更糟糕值）的概率在逐渐降低。如果这个坡特别长，那么很有可能最终我们并不会翻过这个坡。如果它不太长，这很有可能会翻过它，这取决于衰减 t 值的设定。

关于普通Greedy算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：

• 普通Greedy算法：兔子朝着比现在低的地方跳去。它找到了不远处的最低的山谷。但是这座山谷不一定最低的。这就是普通Greedy算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
• 模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向低处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最低的方向跳去。这就是模拟退火。

模拟退火算法的简单应用 　　

作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。 　　

求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下： 　　

解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n) 　　

目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数： 　　

我们要求此代价函数的最小值。 　　

新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将 　　

(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 　　

变为：

(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn). 　　

如果是k>m，则将 　　

(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn) 　　

变为： 　　

(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk). 　　

上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 　　

也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。 　　

代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：

根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:
              　begin 
              　　init-of-T; { T为初始温度}
              　　S={1，……，n}; {S为初始值}
              　　termination=false;
              　　while termination=false
              　　　begin 
              　　　　for i=1 to L do
              　　　　　　begin
              　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
              　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
              　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
              　　　　　　　　S=S′;
              　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN 
              　　　　　　　　termination=true;
              　　　　　　End;
              　　　　T_lower;
              　　　End;
              　End

下面给出C++实现参考源码:

/*
模拟退火算法解决TSP问题
输入格式(tsp.in)：
第1行:1个整数N，表示城市的数量
第2..N+1行：每行有2个空格分开的整数x,y，第i+1行的x,y表示城市i的坐标
*/
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

#define N     30      //城市数量
#define T     3000    //初始温度
#define EPS   1e-8    //终止温度
#define DELTA 0.98    //温度衰减率

#define LIMIT 1000   //概率选择上限
#define OLOOP 20    //外循环次数
#define ILOOP 100   //内循环次数

using namespace std;

//定义路线结构体
struct Path
{
    int citys[N];
    double len;
};

//定义城市点坐标
struct Point
{
    double x, y;
};

Path bestPath;        //记录最优路径
Point p[N];       //每个城市的坐标
double w[N][N];   //两两城市之间路径长度
int nCase;        //测试次数

double dist(Point A, Point B)
{
    return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}

void GetDist(Point p[], int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = i + 1; j < n; j++)
            w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}

void Input(Point p[], int &n)
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}

void Init(int n)
{
    nCase = 0;
    bestPath.len = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        bestPath.citys[i] = i;
        if(i != n - 1)
        {
            printf("%d--->", i);
            bestPath.len += w[i][i + 1];
        }
        else
            printf("%d\n", i);
    }
    printf("\nInit path length is : %.3lf\n", bestPath.len);
    printf("-----------------------------------\n\n");
}

void Print(Path t, int n)
{
    printf("Path is : ");
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(i != n - 1)
            printf("%d-->", t.citys[i]);
        else
            printf("%d\n", t.citys[i]);
    }
    printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
    printf("-----------------------------------\n\n");
}

Path GetNext(Path p, int n)
{
    Path ans = p;
    int x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    int y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    while(x == y)
    {
        x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
        y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    }
    swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
    ans.len = 0;
    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
        ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
    cout << "nCase = " << nCase << endl;
    Print(ans, n);
    nCase++;
    return ans;
}

void SA(int n)
{
    double t = T;
    srand((unsigned)(time(NULL)));
    Path curPath = bestPath;
    Path newPath = bestPath;
    int P_L = 0;
    int P_F = 0;
    while(1)       //外循环，主要更新参数t，模拟退火过程
    {
        for(int i = 0; i < ILOOP; i++)    //内循环，寻找在一定温度下的最优值
        {
            newPath = GetNext(curPath, n);
            double dE = newPath.len - curPath.len;
            if(dE < 0)   //如果找到更优值，直接更新
            {
                curPath = newPath;
                P_L = 0;
                P_F = 0;
            }
            else
            {
                double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);
                //如果找到比当前更差的解，以一定概率接受该解，并且这个概率会越来越小
                if(exp(dE / t) > rd && exp(dE / t) < 1)
                    curPath = newPath;
                P_L++;
            }
            if(P_L > LIMIT)
            {
                P_F++;
                break;
            }
        }
        if(curPath.len < bestPath.len)
            bestPath = curPath;
        if(P_F > OLOOP || t < EPS)
            break;
        t *= DELTA;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {

    freopen("TSP.data", "r", stdin);
    int n;
    Input(p, n);
    GetDist(p, n);
    Init(n);
    SA(n);
    Print(bestPath, n);
    printf("Total test times is : %d\n", nCase);
    return 0;
}

TSP.data的数据格式如下，第一行的数字表示一个有多少座城市，第2至最后一行，每行有两个数字表示，城市的坐标（平面直角坐标系）。例如： 
6 
20 80 
16 84 
23 66 
62 90 
11 9 
35 28 

注意由于是基于蒙特卡洛的方法，所以上面代码每次得出的结果并不完全一致。你可以通过增加迭代的次数来获得一个更优的结果。

我们这里需要说明的是，在之前的文章里，我们用求最小值的例子来解释模拟退火的执行：如果新一轮的计算结果更前一轮之结果更小，那么我们就接受它，否则就以一个概率来拒绝或接受它，而这个拒绝的概率会随着温度的降低（也即是迭代次数的增加）而变大（也就是接受的概率会越来越小）。

但现在我们面对一个TSP问题，我们如何定义或者说如何获取下一轮将要被考察的哈密尔顿路径呢？在一元函数最小值的例子中，下一轮就是指向左或者向右移动一小段距离。而在TSP问题中，我们可以采用的方式其实是很多的。上面代码中GetNext()函数所采用的方式是随机交换两个城市在路径中的顺序。例如当前路径为 A->B->C->D->A，那么下一次路径就可能是A->D->C->B->A，即交换B和D。

public class Tour{
    ... ...
    // Creates a random individual
    public void generateIndividual() {
        // Loop through all our destination cities and add them to our tour
        for (int cityIndex = 0; cityIndex < TourManager.numberOfCities(); cityIndex++) {
          setCity(cityIndex, TourManager.getCity(cityIndex));
        }
        // Randomly reorder the tour
        Collections.shuffle(tour);
    }
    ... ...
}

可见把上一轮路径做一个随机的重排（这显然也是一种策略）。

我们对上述问题提出一种新的策略:

 

首先，我们需要创建一个城市类，它可以用来为旅行推销员的不同目的地建模。

/*
* City.java
* Models a city
*/

package sa;

public class City {
    int x;
    int y;
    
    // Constructs a randomly placed city
    public City(){
        this.x = (int)(Math.random()*200);
        this.y = (int)(Math.random()*200);
    }
    
    // Constructs a city at chosen x, y location
    public City(int x, int y){
        this.x = x;
        this.y = y;
    }
    
    // Gets city's x coordinate
    public int getX(){
        return this.x;
    }
    
    // Gets city's y coordinate
    public int getY(){
        return this.y;
    }
    
    // Gets the distance to given city
    public double distanceTo(City city){
        int xDistance = Math.abs(getX() - city.getX());
        int yDistance = Math.abs(getY() - city.getY());
        double distance = Math.sqrt( (xDistance*xDistance) + (yDistance*yDistance) );
        
        return distance;
    }
    
    @Override
    public String toString(){
        return getX()+", "+getY();
    }
}

接下来让我们创建一个可以跟踪城市的类：

/*
* TourManager.java
* Holds the cities of a tour
*/

package sa;

import java.util.ArrayList;

public class TourManager {

    // Holds our cities
    private static ArrayList destinationCities = new ArrayList<City>();

    // Adds a destination city
    public static void addCity(City city) {
        destinationCities.add(city);
    }
    
    // Get a city
    public static City getCity(int index){
        return (City)destinationCities.get(index);
    }
    
    // Get the number of destination cities
    public static int numberOfCities(){
        return destinationCities.size();
    }
    
}

现在来创建一个可以模拟旅行推销员之旅：

/*
* Tour.java
* Stores a candidate tour through all cities
*/

package sa;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

public class Tour{

    // Holds our tour of cities
    private ArrayList tour = new ArrayList<City>();
    // Cache
    private int distance = 0;
    
    // Constructs a blank tour
    public Tour(){
        for (int i = 0; i < TourManager.numberOfCities(); i++) {
            tour.add(null);
        }
    }
    
    // Constructs a tour from another tour
    public Tour(ArrayList tour){
        this.tour = (ArrayList) tour.clone();
    }
    
    // Returns tour information
    public ArrayList getTour(){
        return tour;
    }

    // Creates a random individual
    public void generateIndividual() {
        // Loop through all our destination cities and add them to our tour
        for (int cityIndex = 0; cityIndex < TourManager.numberOfCities(); cityIndex++) {
          setCity(cityIndex, TourManager.getCity(cityIndex));
        }
        // Randomly reorder the tour
        Collections.shuffle(tour);
    }

    // Gets a city from the tour
    public City getCity(int tourPosition) {
        return (City)tour.get(tourPosition);
    }

    // Sets a city in a certain position within a tour
    public void setCity(int tourPosition, City city) {
        tour.set(tourPosition, city);
        // If the tours been altered we need to reset the fitness and distance
        distance = 0;
    }
    
    // Gets the total distance of the tour
    public int getDistance(){
        if (distance == 0) {
            int tourDistance = 0;
            // Loop through our tour's cities
            for (int cityIndex=0; cityIndex < tourSize(); cityIndex++) {
                // Get city we're traveling from
                City fromCity = getCity(cityIndex);
                // City we're traveling to
                City destinationCity;
                // Check we're not on our tour's last city, if we are set our 
                // tour's final destination city to our starting city
                if(cityIndex+1 < tourSize()){
                    destinationCity = getCity(cityIndex+1);
                }
                else{
                    destinationCity = getCity(0);
                }
                // Get the distance between the two cities
                tourDistance += fromCity.distanceTo(destinationCity);
            }
            distance = tourDistance;
        }
        return distance;
    }

    // Get number of cities on our tour
    public int tourSize() {
        return tour.size();
    }
    
    @Override
    public String toString() {
        String geneString = "|";
        for (int i = 0; i < tourSize(); i++) {
            geneString += getCity(i)+"|";
        }
        return geneString;
    }
}

最后，让我们创建模拟退火算法：

package sa;

public class SimulatedAnnealing {

    // Calculate the acceptance probability
    public static double acceptanceProbability(int energy, int newEnergy, double temperature) {
        // If the new solution is better, accept it
        if (newEnergy < energy) {
            return 1.0;
        }
        // If the new solution is worse, calculate an acceptance probability
        return Math.exp((energy - newEnergy) / temperature);
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Create and add our cities
        City city = new City(60, 200);
        TourManager.addCity(city);
        City city2 = new City(180, 200);
        TourManager.addCity(city2);
        City city3 = new City(80, 180);
        TourManager.addCity(city3);
        City city4 = new City(140, 180);
        TourManager.addCity(city4);
        City city5 = new City(20, 160);
        TourManager.addCity(city5);
        City city6 = new City(100, 160);
        TourManager.addCity(city6);
        City city7 = new City(200, 160);
        TourManager.addCity(city7);
        City city8 = new City(140, 140);
        TourManager.addCity(city8);
        City city9 = new City(40, 120);
        TourManager.addCity(city9);
        City city10 = new City(100, 120);
        TourManager.addCity(city10);
        City city11 = new City(180, 100);
        TourManager.addCity(city11);
        City city12 = new City(60, 80);
        TourManager.addCity(city12);
        City city13 = new City(120, 80);
        TourManager.addCity(city13);
        City city14 = new City(180, 60);
        TourManager.addCity(city14);
        City city15 = new City(20, 40);
        TourManager.addCity(city15);
        City city16 = new City(100, 40);
        TourManager.addCity(city16);
        City city17 = new City(200, 40);
        TourManager.addCity(city17);
        City city18 = new City(20, 20);
        TourManager.addCity(city18);
        City city19 = new City(60, 20);
        TourManager.addCity(city19);
        City city20 = new City(160, 20);
        TourManager.addCity(city20);

        // Set initial temp
        double temp = 10000;

        // Cooling rate
        double coolingRate = 0.003;

        // Initialize intial solution
        Tour currentSolution = new Tour();
        currentSolution.generateIndividual();
        
        System.out.println("Initial solution distance: " + currentSolution.getDistance());

        // Set as current best
        Tour best = new Tour(currentSolution.getTour());
        
        // Loop until system has cooled
        while (temp > 1) {
            // Create new neighbour tour
            Tour newSolution = new Tour(currentSolution.getTour());

            // Get a random positions in the tour
            int tourPos1 = (int) (newSolution.tourSize() * Math.random());
            int tourPos2 = (int) (newSolution.tourSize() * Math.random());

            // Get the cities at selected positions in the tour
            City citySwap1 = newSolution.getCity(tourPos1);
            City citySwap2 = newSolution.getCity(tourPos2);

            // Swap them
            newSolution.setCity(tourPos2, citySwap1);
            newSolution.setCity(tourPos1, citySwap2);
            
            // Get energy of solutions
            int currentEnergy = currentSolution.getDistance();
            int neighbourEnergy = newSolution.getDistance();

            // Decide if we should accept the neighbour
            if (acceptanceProbability(currentEnergy, neighbourEnergy, temp) > Math.random()) {
                currentSolution = new Tour(newSolution.getTour());
            }

            // Keep track of the best solution found
            if (currentSolution.getDistance() < best.getDistance()) {
                best = new Tour(currentSolution.getTour());
            }
            
            // Cool system
            temp *= 1-coolingRate;
        }

        System.out.println("Final solution distance: " + best.getDistance());
        System.out.println("Tour: " + best);
    }
}

结果如下：

Initial solution distance: 1966
Final solution distance: 911
Tour: |180, 200|200, 160|140, 140|180, 100|180, 60|200, 40|160, 20|120, 80|100, 40|60, 20|20, 20|20, 40|60, 80|100, 120|40, 120|20, 160|60, 200|80, 180|100, 160|140, 180|

在这个例子中，我们能够超过我们初始随机生成路径的一半以上。很大程度上说明，当应用到某些类型的优化问题时，这个相对简单的算法是多么方便。

 

模拟退火算法的参数控制问题　　

模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

　　(1) 温度T的初始值设置问题。
　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
　　(2) 退火速度问题。
　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
　　(3) 温度管理问题。
　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：
       T(t+1)＝k×T(t)
式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数。

例题推荐

• 给定n个质点，求重心，这n个质点的重心满足Σ(重心到点i的距离)*g[i]最小。---BZOJ 3680 参考题解请看这里
• 给n个点，找出一个点，使这个点到其他所有点的距离之和最小，也就是求费马点。---POJ 2420
• 给定三维空间的n点，找出一个半径最小的球把这些点全部包围住。---POJ 2069

• 

• 平面上给定n条线段，找出一个点，使这个点到这n条线段的距离和最小。参考源码在这里
• 地图中有N个陷阱，给出他们的坐标，求一个点，使得这个点到所有陷阱的最小距离最大。---POJ 1379
• 求一个椭球面上的一个点到原点的最短距离。---HDU 5017
• 找出一个点使得这个店到n个点的最长距离最短，即求最小覆盖圆的半径。---HDU 3932
• 给一个矩阵的长宽，再给n个点，求矩阵区域内某个点到各个点的最小距离的最大值，输出所求点的坐标。---HDU 1109
• 给定n个点的一个多边形，一个圆的半径，判断圆是否可以放在多边形里。---HDU 3644
• 给定n个点的坐标和它x和y方向的分速度，要求在任意时刻两两点之间距离最大值中的最小值。---HDU 4717

参考文献

• 模拟退火算法：https://wenku.baidu.com/view/0c12fffaaef8941ea76e0512.html
• 模拟退火算法：https://wenku.baidu.com/view/aabae39077a20029bd64783e0912a21614797f2f.html?mark_pay_doc=2&mark_rec_page=1&mark_rec_position=2&clear_uda_param=1
• 大白话解析模拟退火算法：http://blog.jobbole.com/108559/