图的基本算法(BFS和DFS)

图是一种灵活的数据结构，一般作为一种模型用来定义对象之间的关系或联系。对象由顶点（V）表示，而对象之间的关系或者关联则通过图的边（E）来表示。 图可以分为有向图和无向图，一般用G=(V,E)来表示图。经常用邻接矩阵或者邻接表来描述一副图。 在图的基本算法中，最初需要接触的就是图的遍历算法，根据访问节点的顺序，可分为广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）。

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广度优先搜索（BFS） 广度优先搜索在进一步遍历图中顶点之前，先访问当前顶点的所有邻接结点。 a .首先选择一个顶点作为起始结点，并将其染成灰色，其余结点为白色。 b. 将起始结点放入队列中。 c. 从队列首部选出一个顶点，并找出所有与之邻接的结点，将找到的邻接结点放入队列尾部，将已访问过结点涂成黑色，没访问过的结点是白色。如果顶点的颜色是灰色，表示已经发现并且放入了队列，如果顶点的颜色是白色，表示还没有发现 d. 按照同样的方法处理队列中的下一个结点。 基本就是出队的顶点变成黑色，在队列里的是灰色，还没入队的是白色。 用一副图来表达这个流程如下：

1.初始状态，从顶点1开始，队列={1}

2.访问1的邻接顶点，1出队变黑，2,3入队，队列={2,3,}

3.访问2的邻接结点，2出队，4入队，队列={3,4}

4.访问3的邻接结点，3出队，队列={4}

5.访问4的邻接结点，4出队，队列={ 空}

从顶点1开始进行广度优先搜索：

1. 初始状态，从顶点1开始，队列={1}
2. 访问1的邻接顶点，1出队变黑，2,3入队，队列={2,3,}
3. 访问2的邻接结点，2出队，4入队，队列={3,4}
4. 访问3的邻接结点，3出队，队列={4}
5. 访问4的邻接结点，4出队，队列={ 空} 结点5对于1来说不可达。 上面的图可以通过如下邻接矩阵表示：

   int maze[5][5] = {
       { 0, 1, 1, 0, 0 },
       { 0, 0, 1, 1, 0 },
       { 0, 1, 1, 1, 0 },
       { 1, 0, 0, 0, 0 },
       { 0, 0, 1, 1, 0 }
   };

   BFS核心代码如下：

   #include <iostream>
   #include <queue>
   #define N 5
   using namespace std;
   int maze[N][N] = {
       { 0, 1, 1, 0, 0 },
       { 0, 0, 1, 1, 0 },
       { 0, 1, 1, 1, 0 },
       { 1, 0, 0, 0, 0 },
       { 0, 0, 1, 1, 0 }
   };
   int visited[N + 1] = { 0, };
   void BFS(int start)
   {
       queue<int> Q;
       Q.push(start);
       visited[start] = 1;
       while (!Q.empty())
       {
           int front = Q.front();
           cout << front << " ";
           Q.pop();
           for (int i = 1; i <= N; i++)
           {
               if (!visited[i] && maze[front - 1][i - 1] == 1)
               {
                   visited[i] = 1;
                   Q.push(i);
               }
           }
       }
   }
   int main()
   {
       for (int i = 1; i <= N; i++)
       {
           if (visited[i] == 1)
               continue;
           BFS(i);
       }
       return 0;
   }

   深度优先搜索（DFS） 深度优先搜索在搜索过程中访问某个顶点后，需要递归地访问此顶点的所有未访问过的相邻顶点。 初始条件下所有节点为白色，选择一个作为起始顶点，按照如下步骤遍历： a. 选择起始顶点涂成灰色，表示还未访问 b. 从该顶点的邻接顶点中选择一个，继续这个过程（即再寻找邻接结点的邻接结点），一直深入下去，直到一个顶点没有邻接结点了，涂黑它，表示访问过了 c. 回溯到这个涂黑顶点的上一层顶点，再找这个上一层顶点的其余邻接结点，继续如上操作，如果所有邻接结点往下都访问过了，就把自己涂黑，再回溯到更上一层。 d. 上一层继续做如上操作，知道所有顶点都访问过。 用图可以更清楚的表达这个过程：

   

   1.初始状态，从顶点1开始
   

   2.依次访问过顶点1,2,3后，终止于顶点3
   

   3.从顶点3回溯到顶点2，继续访问顶点5，并且终止于顶点5
   

   4.从顶点5回溯到顶点2，并且终止于顶点2
   

   5.从顶点2回溯到顶点1，并终止于顶点1
   

   6.从顶点4开始访问，并终止于顶点4

   从顶点1开始做深度搜索：

   1. 初始状态，从顶点1开始
   2. 依次访问过顶点1,2,3后，终止于顶点3
   3. 从顶点3回溯到顶点2，继续访问顶点5，并且终止于顶点5
   4. 从顶点5回溯到顶点2，并且终止于顶点2
   5. 从顶点2回溯到顶点1，并终止于顶点1

   6. 从顶点4开始访问，并终止于顶点4

      上面的图可以通过如下邻接矩阵表示：

      int maze[5][5] = {
          { 0, 1, 1, 0, 0 },
          { 0, 0, 1, 0, 1 },
          { 0, 0, 1, 0, 0 },
          { 1, 1, 0, 0, 1 },
          { 0, 0, 1, 0, 0 }
      };

      DFS核心代码如下（递归实现）：

      #include <iostream>
      #define N 5
      using namespace std;
      int maze[N][N] = {
          { 0, 1, 1, 0, 0 },
          { 0, 0, 1, 0, 1 },
          { 0, 0, 1, 0, 0 },
          { 1, 1, 0, 0, 1 },
          { 0, 0, 1, 0, 0 }
      };
      int visited[N + 1] = { 0, };
      void DFS(int start)
      {
          visited[start] = 1;
          for (int i = 1; i <= N; i++)
          {
              if (!visited[i] && maze[start - 1][i - 1] == 1)
                  DFS(i);
          }
          cout << start << " ";
      }
      int main()
      {
          for (int i = 1; i <= N; i++)
          {
              if (visited[i] == 1)
                  continue;
              DFS(i);
          }
          return 0;
      }

      非递归实现如下，借助一个栈：

      #include <iostream>
      #include <stack>
      #define N 5
      using namespace std;
      int maze[N][N] = {
          { 0, 1, 1, 0, 0 },
          { 0, 0, 1, 0, 1 },
          { 0, 0, 1, 0, 0 },
          { 1, 1, 0, 0, 1 },
          { 0, 0, 1, 0, 0 }
      };
      int visited[N + 1] = { 0, };
      void DFS(int start)
      {
          stack<int> s;
          s.push(start);
          visited[start] = 1;
          bool is_push = false;
          while (!s.empty())
          {
              is_push = false;
              int v = s.top();
              for (int i = 1; i <= N; i++)
              {
                  if (maze[v - 1][i - 1] == 1 && !visited[i])
                  {
                      visited[i] = 1;
                      s.push(i);
                      is_push = true;
                      break;
                  }
              }
              if (!is_push)
              {
                  cout << v << " ";
                  s.pop();
              }
      
          }
      }
      int main()
      {
          for (int i = 1; i <= N; i++)
          {
              if (visited[i] == 1)
                  continue;
              DFS(i);
          }
          return 0;
      }

      有的DFS是先访问读取到的结点，等回溯时就不再输出该结点，也是可以的。算法和我上面的区别就是输出点的时机不同，思想还是一样的。DFS在环监测和拓扑排序中都有不错的应用。

感谢卡巴拉的树提供的文章，本文来自于http://www.jianshu.com/p/70952b51f0c8