求逆元

模P乘法逆元：

对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1

 

证明： 首先证明充分性 如果gcd(a,p) = 1，根据欧拉定理，a^φ(p) ≡ 1 mod p，因此 显然a^(φ(p)-1) mod p是a的模p乘法逆元。 再证明必要性 假设存在a模p的乘法逆元为b ab ≡ 1 mod p 则ab = kp +1 ，所以1 = ab - kp 因为gcd(a,p) = d 所以d | 1 所以d只能为1

逆元主要帮助我们来求a/b%mod的值，我们知道加，减，乘的运算可以取余，但是除法不能直接取余，a/b%mod = a*reverse(b)%mod;

 

证明：

在计算(a/b)%Mod时，往往需要先计算b%Mod的逆元p（b有逆元的条件是gcd(b,Mod)==1，显然素数肯定有逆元），然后由(a*p)%Mod得结果c。这里b的逆元p满足(b*p)%Mod=1。先来简单证明一下：

(a/b)%Mod=c;    (b*p)%Mod=1;    ==》   (a/b)*(b*p) %Mod=c;    ==》    (a*p)%Mod=c;

 

如何求逆元：

方法1：

(p是mod)   首先这里要保证 gcd(b,p)=1

根据费马小定理  若gcd(b,p)=1 则 b^phi(p)== 1(mod p),与a/b,合并一下, a/b=a*b^(-1) ,那就是 a/b == a * b^(phi(p)-1) (mod p)  这里要用到欧拉函数

 二分求幂...

方法2：

 若gcd(b,p)=1,则可根据扩展欧几里得算法得出 bx==1 (mod p) 与a/b,合并一下, 答案 就是 a/b*(b*x)==ax (mod p)

扩展欧几里德算法，大家应该都知道，就是已知a、b，求一组解(x,y)使得a*x+b*y=1。这里求得的x即为a%b的逆元，y为b%a的逆元（想想为什么？把方程两边都模上b或a看看）。调用ExtGcd（b,Mod,x,y)，x即为b%Mod的逆元p。

 
题目：

http://www.cnblogs.com/E-star/archive/2013/04/26/3045436.html