pku2115 C Looooops 扩展欧几里德

http://poj.org/problem?id=2115

通过这道题有学习了一些新的数论知识，感觉很充实。哈哈。

做这道题首先要理解：同于定理：http://baike.baidu.com/view/1490645.htm?fromTaglist

这里主要运用了（2）

同余有三种说法都是等价的,分别为:

　　(1) a和b是模d同余的. a=b(mod d)这里的=是三道杠的。

　　(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .

　　(3) d整除a-b.

第二就是扩展欧几里德：

日华的博客里面写的扩展欧几里德不错：给个链接：http://starry314.blog.163.com/blog/static/19231833820121724628448/ 

题目的意思就是求（A + C*x）=B(mod 2^k)注意这里的等号是同于的等号（不知道怎么大三个杠的囧）

首先根据同于性质（2）得： A + C*x + 2^k*y = B ----> C*x + 2^k*y  = (B - A + 2^k)%2^K

另 a = C b = 2^k  p = (B - A + 2^k)%2^k ---> a*x + b*y = p;这就转化成扩展欧几里德求解线性方程的问题看上边博客。

这里自己补充一点：

当我们运行完exp_gcd函数时，我们得到的x1,y1是a*x1 + b*y1 = gcd(a,b) = d;的x,y的解，而我们通常要求的是a*x + b*y = p的解

这里有个推导过程：

a*x1 + b*y1 =  d ---> (a/d)*x1 + (b/d)*y1 = 1;............(1);

a*x + b*y = p -----> (a/p)x + (b/p)*y  = 1;..........(2);

由（1）（2）得：x = (p/d)*x1; y = (p/d)*y1; 得到x,y后再利用 a(x + n*b) + b(y - n*a) = p 来对x，y进行缩小放大。如果要得到最小的x则直接由 x = (x%b + b)%b得到即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxn 507
#define LL __int64
using namespace std;

LL Pow(int a,int k)
{
    LL sum = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i)
    sum *= a;
    return sum;
}
LL exp_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1; y  =0;
        return a;
    }
    else
    {
        LL d = exp_gcd(b,a%b,x,y);
        LL tmp = x;
        x = y; y = (tmp - (a/b)*y);
        return d;
    }
}
int main()
{
    LL A,B,C,a,b,p,x,y;
    int k;
    while (~scanf("%I64d%I64d%I64d%d",&A,&B,&C,&k))
    {
        if (!A && !B && !C && !k) break;
        a = C; b = Pow(2,k);
        p = (B - A + b)%b;
        LL d = exp_gcd(a,b,x,y);
        if (p%d != 0)
        {
            printf("FOREVER\n");
        }
        else
        {
            /*
            这里自己开始没理解好，我们求出来的x,y是a*x +　b*y = gcd(a,b)的解，
            而我们要的则是a*x + b*y = p的解，所以要转化一下
            */
            p /= d;
            b /= d;
            a /= d;
            x *= p;
            x = (x%b + b)%b;
            printf("%I64d\n",x);
        }
    }
    return 0;
}