1、基本定义。
子串:字符串S的子串r[i...j]。
后缀:以i开始的后缀表示为Suffix(i)。
大小比较:按字典序。
后缀数组:SA是一个一维数组。将S的后缀从小到大排序后,后缀的开头位置顺次放入SA。(SA[i]=j:排在第i个的是Suffix(j))
名词数组:Rank[i]是Suffix(i)在后缀中从小到大排列的名次。(Rank[i]=j:Suffix(i)排在第j个)
后缀数组和名次数组为互逆运算:设Rank[i]=j,则SA[j]=i。
2、倍增算法。
目的:设字符串长度为n,在O(nlog2n)求出SA数组和Rank数组。
1 int wa[MAXN],wb[MAXN],wv[MAXN],ws[MAXN]; 2 inline bool cmp(int *r,int a,int b,int len) 3 { 4 return r[a]==r[b]&&r[a+len]==r[b+len]; 5 } 6 void SA(char *r,int *sa,int n,int m) 7 { 8 //r为字符串数组,sa为后缀数组,n=strlen(s)+1,m为max(r[i])+1。 9 int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t; 10 11 //对长度为1的字符串基数排序。 12 for(i=0;i<m;i++) 13 ws[i]=0;//清零。 14 for(i=0;i<n;i++) 15 ws[x[i]=r[i]]++;//统计各相同字符的个数。 16 for(i=1;i<m;i++) 17 ws[i]+=ws[i-1];//统计小于等于i的字符共有多少个。 18 for(i=n-1;i>=0;i--) 19 sa[--ws[x[i]]]=i;//小于等于r[i]共有ws[x[i]]个,因此r[i]排在第ws[x[i]]个。 20 21 for(j=p=1;p<n;j<<=1,m=p)//p是第二关键字为0的个数,j是当前比较的字符串长度。 22 { 23 //对第二关键字基数排序。 24 //y[s]=t表示排在第s个的起点在t,即y[s]对第二关键字排序,但y[s]的值指向第一关键字的位置。 25 for(p=0,i=n-j;i<n;i++) 26 y[p++]=i;//在n-j之后的第二关键字都为0,排在前面,即第p个。 27 for(i=0;i<n;i++) 28 { 29 if(sa[i]>=j)//如果排在第i个的字符串起点在sa[i],满足sa[i]>=当前字符串长度j。 30 y[p++]=sa[i]-j;//对于sa[i]-j为起点的第二关键字排在前面。 31 } 32 33 //对第一关键字基数排序。 34 for(i=0;i<m;i++) 35 ws[i]=0;//清零。 36 for(i=0;i<n;i++) 37 ws[wv[i]=x[y[i]]]++;//第二关键字排在第i个的起点在y[i],x[y[i]]就是y[i]指向的字符,ws进行个数统计。 38 for(i=1;i<m;i++) 39 ws[i]+=ws[i-1];//统计字符小于等于i的个数。 40 for(i=n-1;i>=0;i--)//wv[i]是排在第i个第二关键字对应的第一关键字。 41 sa[--ws[wv[i]]]=y[i];//y[i]就是第一关键字的位置。 42 for(t=x,x=y,y=t,x[sa[0]]=0,p=i=1;i<n;i++)//交换x,y的地址,x保存当前rank值,y为前一次rank值。 43 x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++; 44 //若rank[sa[i-1]]=rank[sa[i]],则必然sa[i-1]+j没有越界,因为不可能有相等的后缀。 45 } 46 }
3、后缀数组的应用。
height数组:height[i]=Suffix(sa[i-1])和Suffix(sa[i])的最长公共前缀,也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。
h数组:h[i]=height[rank[i]]=Suffix(i)和在它前一名的后缀的最长公共前缀。
h数组的性质:h[i]>=h[i-1]-1。
证明:设Suffix(k)是排在Suffix(i-1)前一名的后缀,则它们的最长公共前缀就是h[i-1]。那么Suffix(k+1)将排在Suffix(i)的前面。
a、若Suffix(k)与Suffix(i-1)的最长公共前缀<=1,即h[i-1]<=1,h[i]>=0显然成立。
b、若Suffix(k)与Suffix(i-1)的最长公共前缀>=2,Suffix(k)与Suffix(i-1)同时去掉首字符得到Suffix(k+1)与Suffix(i),则Suffix(k+1)排在Suffix(i)的前面,且Suffix(k+1)与Suffix(i)的最长公共前缀=h[i-1]-1。设Suffix(t)是排在Suffix(i)前一名的后缀,则它们的最长公共前缀就是h[i],那么Suffix(t)=Suffix(k+1)或者Suffix(t)排在Suffix(k+1)前面,则h[i]>=h[i-1]-1。
1 int rank[MAXN],height[MAXN]; 2 void Height(int *r,int *sa,int n) 3 { 4 int i,j,k; 5 for(i=1;i<=n;i++) 6 rank[sa[i]]=i; 7 for(i=k=0;i<n;height[rank[i++]]=k) 8 for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++); 9 //若k>0,从k-1开始找最长公共前缀。 10 return; 11 }
1、不可重叠最长重复子串:【POJ】1743 Musical Theme
2、可重叠的k 次最长重复子串:【POJ】3261 Milk Patterns
3、不相同的子串的个数:【SPOJ】705 New Distinct Substrings
4、最长回文子串:【URAL】1297 Palindrome
5、重复次数最多的连续重复子串:【SPOJ】687 Repeats、【POJ】3693 Maximum repetition substring
6、最长公共子串:【HDU】1403 Longest Common Substring
7、长度不小于k 的公共子串的个数:【POJ】3415 Common Substrings
8、不小于k 个字符串中的最长子串:【POJ】3294 Life Forms
9、每个字符串至少出现两次且不重叠的最长子串:【SPOJ】220 Relevant Phrases of Annihilation
其他: