置换，置换的运算
置换的概念还是比较好理解的，《组合数学》里面有讲。对于置换的幂运算大家可以参考一下潘震皓的那篇《置换群快速幂运算研究与探讨》，写的很好。
结论一：一个长度为l的循环T，l是k的倍数，则T^k是k个循环的乘积，每个循环分别是循环T中下标i mod k=0,1,2…的元素按顺序的连接。
结论二：一个长度为l的循环T，gcd(l,k)=1，则T^k是一个循环，与循环T不一定相同。
结论三：一个长度为l的循环T，T^k是m=gcd(l,k)个循环的乘积，每个循环分别是循环T中下标i mod gcd(l,k)=0,1,2…的元素的连接。
如果长度与指数不互质，单个循环就没有办法来开方。不过，我们可以选择相应m个长度相同的循环交错合并来完成开方的过程。可在这种情况下，如果找不到m个长度相同的循环，那就一定不能开方。其中：m是gcd(l,k)的倍数
*简单题：（应该理解概念就可以了）
题目描述：
给你一个数字序列（每个数字唯一），每次你可以交换任意两个数字，代价为这两个数字的和，问最少用多少代价能把这个序列按升序排列好。
题目的具体做法是参考刘汝佳的《算法艺术与信息学奥赛》大概思路是：以后再用别种方法解，
1.找出初始状态和目标状态。明显，目标状态就是排序后的状态。
2.画出置换群，在里面找循环。例如，数字是8 4 5 3 2 7
明显， 目标状态是2 3 4 5 7 8，能写为两个循环：(8 2 7)(4 3 5)。
3.观察其中一个循环，明显地，要使交换代价最小，应该用循环里面最小的数字2，去与另外的两个数字，7与8交换。这样交换的代价是：
sum - min + (len - 1) * min
化简后为：
sum + (len - 2) * min
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字。
4.考虑到另外一种情况，我们可以从别的循环里面调一个数字，进入这个循环之中，使交换代价更小。例如初始状态：1 8 9 7 6
可分解为两个循环：(1)(8 6 9 7)，明显，第二个循环为(8 6 9 7)，最小的数字为6。我们可以抽调整个数列最小的数字1进入这个循环。使第二个循环变为：(8 1 9 7)。让这个1完成任务后，再和6交换，让6重新回到循环之后。这样做的代价明显是：
sum + min + (len + 1) * smallest
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字，smallest是整个数列最小的数字。
5.因此，对一个循环的排序，其代价是sum - min + (len - 1) * min和sum + min + (len + 1) * smallest之中小的那个数字。但这里两个公式还不知道怎么推出来的。
6.我们在计算循环的时候，不需要记录这个循环的所有元素，只需要记录这个循环的最小的数及其和。
7.在储存数目的时候，我们可以使用一个hash结构，将元素及其位置对应起来，以达到知道元素，可以快速反查元素位置的目的。这样就不必要一个个去搜索。
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100002],b[100002],hash[100002];
int visit[100002];
int n;
__int64 ans,ans1,ans2,sum;
int main()
{
int i,len,min;
int start,id;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(visit,0,sizeof(visit));
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]), b[i]=a[i];
sort(b,b+n);
for(i=0;i<n;i++) //建立简单的hash，方便于知道元素反查其位置；
hash[b[i]]=i;
ans=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
len=0; sum=0;
min=0x7fffffff;
start=a[i];
id=i;
if(!visit[i])
{
while(1)//寻找置换群之中的循环；
{
sum+=start; //求总和；
visit[id]=1;
if(min>start) //记下最小的元素
min=start;
id=hash[start];
start=a[id]; //反查元素；
len++; //求元素个数；
if(start==a[i])//表明找到一只置换群；
break;
}
ans1=sum-min+(len-1)*min;
ans2=sum+min+(len+1)*b[0];
ans+=ans1<ans2?ans1:ans2;
}
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
# pku1026 Cipher //先找出所有置换循环，然后对于每一位来计算k%循环长度后对应于哪个位置,O(n)复杂度。注意读写方面的东西。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
int i,n,j,k,t,len;
int pos[210],c[210];//初始数组。c是周期数组。
char s[210],ans[210];//a接受字符、res是结果。
while(scanf("%d",&n),n)
{
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&pos[i]);
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=1;i<=n;i++)
{
j=i;
while(pos[j]!=i)//寻找周期。
j=pos[j], c[i]++;
c[i]++;
}
while(scanf("%d",&k),k)
{
getchar();
gets(s+1);
len=strlen(s+1);
while(len<n) //填充字符串
s[++len]=' ';
for(i=1;i<=n;i++)//模拟。
{
t=k%c[i];//由周期性，可以得到较少的模拟次数。
j=i;
while(t--)
j=pos[j];
ans[j]=s[i];
}
ans[n+1]=0;
puts(ans+1);
}
puts("");
}
return 0;
}
*置换幂运算：
# pku1721 CARDS //详细见05集训队论文《置换群快速幂运算研究与探讨》。
很显然，这题的一副扑克牌就是一个置换，而每一次洗牌就是这个置换的平方运算。由于牌的数量是奇数，并且一开始是一个大循环，所以做平方运算时候不会分裂。所以，在任意时间，牌的顺序所表示的置换一定是一个大循环。
那么根据文章开头提到的定理：设T^k=e，（T为一循环，e为单位置换），那么k的最小正整数解为T的长度。
可以知道，这个循环的n次方是单位循环，换句话说，如果k mod n=1，那么这个循环的k次方，就是它本身。我们知道，每一次洗牌是一次简单的平方运算，洗x次就是原循环的2x次方。
因为n是奇数，2x mod n=1一定有一个<n的整数解，假设这个解是a；那也就是说，一幅牌，洗a次，就会回到原来的顺序。使用最终顺序不停地洗，直到回到原始顺序，求出循环节长度a以后，再单纯地向前模拟a-s次，就可以得到原始顺序了。
上面的算法是出题方给出的标准算法。显然，时间复杂度为O(n2+logs)。
换一个方向：给定了结果和s以后，可以简单地将这个目标置换用3.1节的方法开方s次得到结果。时间复杂度为O(n*s)。
或者可以更简单地，算出2s，将目标置换直接开2s次方。这里有一个技巧，因为在开方时只需要在循环中前进2s次，所以我们只关心(2s) mod n，也就免去了大数字的运算。所以，计算2s需要O(logs)，而开方需要O(n)。整个时间复杂度为O(n+logs)。
代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX=1001;
int a[MAX],b[MAX];
int main()
{
int i,j,k,n,s;
while(scanf("%d%d",&n,&s)!=EOF)
{
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
//求目标循环结果存放在数组b[]中；
b[1]=1;
i=j=1;
while(a[j]!=1)
{
j=a[j];
b[++i]=j;
}
k=1;
//求位移的步数
for(i=1;i<=s;i++)
k=(k*2)%n;
//求开k次方运算,开方运算后的原始循环存放在数组a[]中；
a[1]=b[1];
j=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
j+=k;
if(j>n) j-=n;
a[j]=b[i];
}
//原始循环转化为原始置换
for(i=1;i<n;i++)
b[a[i]]=a[i+1];
b[a[n]]=a[1];
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",b[i]);
}
return 0;
}
题目意思是：一个置换是否可以由另一个置换的平方得来的。一个置换的平方，原来偶数长的循环会被分裂成两段长度相等的循环，而奇数长的循环不会被分裂。题目只是问是否存在，所以只要看所给置换中偶数长的循环是否成对，否则就不能由一个置换的平方得来。
补充：因为如果所给置换的循环是偶数，则肯定是由分裂过来的，那么一定是成对的，否则如果是奇数，那么有可能是原来是奇数，也有可能是原来的偶数分裂成两个奇数循环。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char s[27];
int a[27],f[27],c[27];
int ok()
{
int i;
for(i=0;i<26;i++)
if(f[i])
{
int cnt=1;
int b=a[i];
f[i]=0;
while(b!=i)
{
f[b]=0;
b=a[b];
cnt++;
}
c[cnt]++;
}
for(i=2;i<27;i+=2)
if(c[i]%2)
return 0;
return 1;
}
int main()
{
int i,t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%s",s);
for(i=0;i<26;i++)
{
a[i]=s[i]-'A';
f[i]=1; c[i]=0;
}
puts(ok()?"Yes":"No");
}
return 0;
}
*推荐：（不错的应用）
# pku3590 The shuffle Problem //把n分解成若干个数，使得他们的lcm最大。在所取的数都是素数幂的时候是最大的，所以可以用递归来枚举所有的分解情况，而且由于要输出序最小的，所以对于剩下的数可以直接单独都作为一个循环，这样就可以使得序最小了。此外，这道题目需要注意求最大的lcm的时候不能用dp来做，因为这个具有后效性，局部最优不一定使得全局最优。
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
bool hash[N];
int p[N],lp;
void prim()
{
memset(hash,true,sizeof(hash));
lp=0;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(hash[i])
{
p[lp++]=i;
for(int j=i*i;j<N;j+=i)
hash[j]=false;
}
}
}
int step[N],maxm,cycle[N],lc;
void dfs(int remain,int k)
{
if(remain<p[k])
{
int m=1;
for(int i=0;i<k;i++)
if(step[i])
m*=step[i];
if(m>maxm)
{
maxm=m;
lc=0;
for(int i=0;i<k;i++)
if(step[i])
cycle[lc++]=step[i];
while(remain--)
cycle[lc++]=1;
}
}else{
step[k]=0;
dfs(remain,k+1);
for(step[k]=p[k];step[k]<=remain;step[k]*=p[k])
dfs(remain-step[k],k+1);
}
}
int main()
{
int t,n;
prim();
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
if(n==1)
{
printf("1 1\n");
continue;
}
maxm=1; lc=0;
dfs(n,0);
sort(cycle,cycle+lc);
printf("%d",maxm);
int k=1,tmp;
for(int i=0;i<lc;i++)
{
tmp=k++;
for(int j=1;j<cycle[i];j++)
printf(" %d",k++);
printf(" %d",tmp);
}
puts("");
}
return 0;
}
