关于HDU-4373 Mysterious For 中结论的证明

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这个题本身是一个很简单的Lucas定理加上中国剩余定理，不过这个题的结论很有意思。题中给出了这种类型的嵌套循环：

for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=i;j<n;++j)
        for(int k=j;k<n;++k)
            ...

也就是每一层循环都是从上一层循环的当前位置开始。结论是，循环上限为n，嵌套次数为m，则循环次数为\(C^m_{n+m-1}\)

我这里想到了一种证明：
我们设每一层的循环变量为\(a_1,a_2,\cdots\)。首先循环的次数有多少，就有多少种\((a_1,a_2,\cdots)\)这些循环变量的取值所组成的m元组。这里令\(x_k=n-a_k\)，显然\((x_1,x_2,\cdots)\)与\((a_1,a_2,\cdots)\)是一一对应的。注意到每个循环变量是从上一个的取值开始的，则可以观察到有\(x_1+x_2+\cdots=n\)。那么原问题转化为了n元线性不定方程的解得种数，也就是多重集的组合数，自然答案就是\(C^m_{n+m-1}\)了