机器学习 —— 基础整理（五）线性回归；二项Logistic回归；Softmax回归及其梯度推导；广义线性模型
本文简单整理了以下内容：
（一）线性回归
（二）二分类：二项Logistic回归
（三）多分类：Softmax回归
（四）广义线性模型
闲话：二项Logistic回归是我去年入门机器学习时学的第一个模型（忘记了为什么看完《统计学习方法》第一章之后直接就跳去了第六章，好像是对“逻辑斯蒂”这个名字很感兴趣？。。。），对照《机器学习实战》写了几行代码敲了一个toy版本，当时觉得还是挺有意思的。我觉得这个模型很适合用来入门（但是必须注意这个模型有很多很多很多很多可以展开的地方）。更有意思的是那时候还不会矩阵微积分，推导梯度时还是把矩阵全都展开求然后再归纳成矩阵形式的（牛顿法要用的二阶梯度也是）。。。
下面的文字中，“Logistic回归”都表示用于二分类的二项Logistic回归。
首先约定一下记号。
样本的特征矩阵 $X=(\textbf x_1,\textbf x_2,...,\textbf x_N)=({\textbf x^{(1)}}^{\top};{\textbf x^{(2)}}^{\top};...;{\textbf x^{(d)}}^{\top})\in\mathbb R^{d\times N}$ ，$X_{ji}=x_i^{(j)}$；
$N$ 是训练集的样本数，每个样本都表示成 $\textbf x_i\in\mathbb R^d$ 的列向量，真实标签为 $y_i$ ；如果出现了 $\textbf x$ 这样没有上下标的记号就泛指任一样本，相当于省略下标，真实标签为 $y$ ；特别地，对于二分类问题，$y$ 只可能取0、1两个值。
$d$ 是特征的维数，每维特征都表示成 $\textbf x^{(j)}\in\mathbb R^N$ 的列向量；如果出现了 $x^{(j)}$ 这样的记号就泛指任一样本的第 $j$ 维特征，相当于省略下标；
权重向量 $\textbf w=(w_1,w_2,...,w_d)^{\top}\in\mathbb R^d$ ，偏置 $b\in\mathbb R$ 。
$\textbf y$ 在本文可能表达两种含义：一种是表示全部训练样本的真实标签组成的列向量 $\textbf y=(y_1,y_2,...,y_N)^{\top}\in\mathbb R^N$ ；另一种含义则是表示样本 $\textbf x$ 的one-hot表示 $\textbf y=(0,0,...,0,1,0,...,0)^{\top}\in\mathbb R^C$（只有真实类别的那一维是1，其他维均是0），相当于 $\textbf y_i$ 省略了下标。
可能看起来有点别扭，因为对于样本来说，下标是序号索引、上标是特征索引；而对于权重来说，下标是特征索引。
（一）线性回归
1. 概述
线性回归（Linear regression）就是用一个超平面去拟合样本点的标签：
$$f(\textbf x)=\textbf w^{\top}\textbf x+b$$
对于一维特征的情况，就是用一条直线去拟合样本点，如下图所示。为了方便起见，将偏置也记到权重向量中并保持记号不变，同时每个样本增加一维特征并保持记号不变：$\textbf w=(1,w_1,w_3,...,w_d)^{\top}$ ，$\textbf x=(1,x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(d)})^{\top}$ ，$f(\textbf x)=\textbf w^{\top}\textbf x$ 。
图片来源：[1]
2. 求解
对于回归任务，最常使用的损失函数是平方损失函数 $L(y,f(\textbf x))=(y-f(\textbf x))^2$ ，对应的经验风险就是均方误差（Mean square error，MSE）：
$$\mathcal R=\frac1N\sum_{i=1}^N(y_i-f(\textbf x_i))^2=\frac1N\|X^{\top}\textbf w-\textbf y\|^2=\frac1N(X^{\top}\textbf w-\textbf y)^{\top}(X^{\top}\textbf w-\textbf y)$$
该式的 $\textbf y$ 表示全部训练样本的真实标签组成的列向量 $\textbf y=(y_1,y_2,...,y_N)^{\top}\in\mathbb R^N$ 。
解一：正规方程组（Normal equations）。可以直接用 $R$ 的一阶导数等于0来求极值点（省略常系数）：
$$\frac{\partial \mathcal R}{\partial\textbf w}=2X(X^{\top}\textbf w-\textbf y)=0\Rightarrow \textbf w=(XX^{\top})^{-1}X\textbf y$$
可以看出，这个不就是最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）解方程 $X^{\top}\textbf w=\textbf y$ 嘛。值得注意的是 $(XX^{\top})^{-1}X$ 其实就是 $X^{\top}$ 的伪逆，计算伪逆的复杂度很高。
需要注意一个问题：$XX^{\top}$ 需要是可逆矩阵，也就是说每维特征之间线性无关，才可以求得唯一解。当其不可逆（特征个数比样本个数还要多）时，解不唯一，需要用梯度下降（Gradient descent）来迭代求解。另外，最小二乘法的结果总是低偏差高方差的。
（注：部分求导法则，使用分母布局，维度为 $q$ 的列向量对维度为 $p$ 的列向量求导后得到的矩阵维数为 $p\times q$ 。关于矩阵求导，可以参考 [8] 。
图片来源：[1]
$$\frac{\partial A^{\top}\textbf x}{\partial\textbf x}=\frac{\partial \textbf x^{\top}A}{\partial\textbf x}=A$$
$$\frac{\partial \textbf y^{\top}\textbf z}{\partial\textbf x}=\frac{\partial \textbf y}{\partial\textbf x}\textbf z+\frac{\partial \textbf z}{\partial\textbf x}\textbf y$$
$$\frac{\partial \textbf y^{\top}A\textbf z}{\partial\textbf x}=\frac{\partial \textbf y}{\partial\textbf x}A\textbf z+\frac{\partial \textbf z}{\partial\textbf x}A^{\top}\textbf y$$
$$\frac{\partial y\textbf z}{\partial\textbf x}=\frac{\partial y}{\partial\textbf x}\textbf z^{\top}+y\frac{\partial \textbf z}{\partial\textbf x}$$
$$\frac{\partial \text{tr}AB}{\partial A}=B^{\top}\quad\quad\frac{\partial \text{tr}AB}{\partial A^{\top}}=B$$
$$\frac{\partial f(A)}{\partial A^{\top}}=(\frac{\partial f(A)}{\partial A})^{\top}$$
）
解二：最小均方误差（least mean squares，LMS）规则，也叫Widrow-Hoff规则，用梯度下降法求解。梯度在上面已经求出来了：
$$\frac{\partial \mathcal R}{\partial\textbf w}=2X(X^{\top}\textbf w-\textbf y)=2X(\hat{\textbf y}-\textbf y)$$
该式的 $\hat{\textbf y}$ 表示模型对全部训练样本的输出标签组成的列向量 $\hat{\textbf y}=(\hat y_1,\hat y_2,...,\hat y_N)^{\top}\in\mathbb R^N$ 。
这样的方式是每更新一次参数就要计算整个训练集上的梯度，是批梯度下降（batch GD）；如果把这个过程拆成 $N$ 次，也就是每次只随机挑选一个样本计算梯度，就是随机梯度下降（Stochastic GD，SGD）。还有一种是mini-batch梯度下降，每次挑选一个小批量样本计算梯度。整个训练集计算完一次梯度称为“一轮”。
3. 均方误差优化目标的概率解释
重新考虑以下问题：设样本的特征和标签存在关系 $y_i=\textbf w^{\top}\textbf x_i+\epsilon_i$ ，并假设每个 $\epsilon_i$ 都是服从高斯分布的随机变量 $\epsilon\sim N(0,\sigma^2)$ 的iid样本（之所以假设为高斯分布，是认为误差由多个独立的随机因素构成，根据多个独立随机变量之和趋于高斯分布，所以假设 $\epsilon$ 服从高斯分布）。从而有
$$p(\epsilon_i)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{\epsilon_i^2}{2\sigma^2})$$
也就是说
$$p(y_i|\textbf x_i;\textbf w)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(y_i-\textbf w^{\top}\textbf x_i)^2}{2\sigma^2})$$
用分号隔开是因为在频率学派的观点下 $\textbf w$ 不是随机变量。
进一步用极大似然估计来求取参数 $\textbf w$ ：对数似然函数为
$$l(\textbf w)=\log\prod_{i=1}^Np(y_i|\textbf x_i;\textbf w)=\log\prod_{i=1}^N\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(y_i-\textbf w^{\top}\textbf x_i)^2}{2\sigma^2})$$
再往后写一步就可以知道，极大似然估计和最小化均方误差是一致的。
4. 局部加权回归（Locally weighted regression，LWR）
相比于普通的线性回归，LWR对于一个点来说使用其附近的点来做回归（而不是全部点）。
相比于线性回归的优化目标 $\sum_{i=1}^N(y_i-\textbf w^{\top}\textbf x_i)^2$ ，局部加权线性回归的优化目标为
$$\sum_{i=1}^N\omega_i(y_i-\textbf w^{\top}\textbf x_i)^2$$
式中 $\omega_i$ 就是非负值的权重，一个常用的选择为 $\omega_i=\exp(-\frac{(\textbf x_i-\textbf x)^{\top}(\textbf x_i-\textbf x)}{2\tau^2})$ ，$\tau$ 是指定的带宽参数（bandwidth）。不难看出，LWR每预测一个点的值都要重新得到一个新的模型。
（二）二项Logistic回归
1. 概述
对于分类任务，一个可行的思路是把基于样本 $\textbf x$ 计算出的连续值 $z$（比如，线性加权值 $z=\textbf w^{\top}\textbf x$ ）和离散的类别标签值联系起来。
二项Logistic回归（Binomial logistic regression）是工业界应用非常广泛的一个经典的二分类模型。一般就叫逻辑回归，这里无意争论到底应该怎么翻译，虽然古人云“名不正则言不顺”，但提起“逻辑回归”大家都知道这是哪个东西，我觉得这就够了。对Logistic回归的历史感兴趣的朋友们可以看一下 [7] 的介绍。首先使用logistic函数 $\sigma(\cdot)$ 将 $ z$ 从实数空间 $(-\infty,+\infty)$ 映射到概率空间 $(0,1)$ 上，可以将映射之后的值 $\sigma(z)$ 解释为样本 $\textbf x$ 属于正类（记类别标记为1）的可能性，也就是后验概率的估计值：
$$\hat y=P(y=1|\textbf x)=\sigma(z)=\frac{1}{1+\exp(-z)}$$
既然解释成后验概率，然后就可以给出分类规则（最大后验概率决策）：当 $P(y=1|\textbf x)>0.5$ ，认为样本 $\textbf x$ 属于正类；否则样本 $\textbf x$ 属于正类属于负类。
下面两个图是一维特征、二分类的情况。大致说了线性回归为什么不可以用来分类。因为线性回归输出连续值，而类别标签只有0、1两个，所以需要人为设定一个阈值，将输出值与该值比较大小，从而来判断模型将样本分到哪一类，而这个阈值会受到离群点（outlier）的牵制，因为线性回归的拟合曲线会因为离群点而受到较大影响，所以不好确定；相比之下，logistic回归不会受到图示离群点的牵制。
图片来源：[5]、[1]
待补充：为什么使用logistic函数归到区间 $(0,1)$ 之后就可以解释成概率了。
2. 决策边界
下面说一下决策边界。当 $P(y=1|\textbf x)=0.5$ 时，意味着 $z=0$ ，这就是决策边界的方程。换句话说，$z$ 的形式决定了逻辑回归的决策面是线性的还是非线性的。如果 $z=\textbf w^{\top}\textbf x$ ，那决策面当然是线性的；但是如果 $z$ 的形式并不是特征的线性组合，而是非线性的形式，当然也可以是非常复杂的决策面。
图片来源：[1]
下面我们只讨论线性决策面的情况。Logistic回归模型为：
$$\hat y=P(y=1|\textbf x)=\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x)=\frac{\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}{1+\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}$$
$$P(y=0|\textbf x)=1-\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x)=\frac{1}{1+\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}$$
稍加变换就可以看出Logistic回归和线性回归的区别：
线性回归是用 $\textbf w^{\top}\textbf x$ 去拟合 $y$ ；二项Logistic回归则是去拟合 $\ln \dfrac{\hat y}{1-\hat y}$ ，换句话说就是在拟合对数几率（log-odds，几率是样本属于正类的可能性与属于负类的可能性的比值）。也就是说，二项Logistic回归在对对数几率做回归，进而转化为解决分类问题。
3. 求解
（1）经验风险最小化：极大似然估计
logistic函数 $\sigma(\cdot)$ 的导函数为 $\sigma'(\cdot)=\sigma(\cdot)\odot (\textbf 1-\sigma(\cdot))$ 。也就是说当自变量为向量时，函数对逐元素进行计算，输出同维度的向量。
首先从经验风险最小化的角度推导参数的求解过程。使用交叉熵损失函数（单标签情况下就是对数损失函数），模型对一个样本 $(\textbf x,y)$ 的对数损失为：
$$\begin{aligned}\mathcal L&=-\biggl(y\ln P(y=1|\textbf x)+(1-y)\ln P(y=0|\textbf x)\biggr)\\&=-\biggl(y\ln\frac{\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}{1+\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}+(1-y)\ln\frac{1}{1+\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}\biggr)\\&=-\biggl(y\textbf w^{\top}\textbf x-\ln(1+\exp(\textbf w^{\top}\textbf x))\biggr)\end{aligned}$$
所以经验风险为：
$$\mathcal R=\frac1N\sum_{i=1}^N\mathcal L_i=-\frac1N\sum_{i=1}^N\biggl(y_i\textbf w^{\top}\textbf x_i-\ln(1+\exp(\textbf w^{\top}\textbf x_i))\biggr)$$
如果不加正则的话，优化目标为上式最小化。前面的系数 $\dfrac1N$ 也就是训练样本数的倒数，是定值，去掉后不影响优化目标。
从极大似然估计的角度也可以推出等价的优化目标：对数似然函数为
$$\begin{aligned}l(\textbf w)&=\ln[\prod_{i=1}^NP(y_i|\textbf x_i;\textbf w)]\\&=\ln[\prod_{i=1}^NP(y_i=1|\textbf x_i)^{y_i}P(y_i=0|\textbf x_i)^{1-y_i}]\\&=\sum_{i=1}^N\biggl(y_i\ln P(y_i=1|\textbf x_i)+(1-y_i)\ln P(y_i=0|\textbf x_i)\biggr)\end{aligned}$$
该式最大化就等价于经验风险最小化。
由于优化目标求不出解析解，但它是高阶连续可微的凸函数，所以可以用迭代的方法，如梯度下降法（GD）。
因为SGD每次迭代是随机选择一个样本，所以这里先求取模型对一个样本的损失的梯度（经验风险的梯度无非就是加个求和号再除以训练样本数而已）：
$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial\textbf w}=-\biggl(y\textbf x-\textbf x\frac{\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}{1+\exp(\textbf w^{\top}\textbf x)}\biggr)$$
可以发现其实它就是个特别简单的形式：
$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial\textbf w}=-(y-\hat y)\textbf x$$
经验风险的梯度可以写成矩阵的形式（ $\textbf y$ 表示训练集样本的真实标签组成的列向量），省略系数 $\dfrac1N$ ：
$$\begin{aligned}\frac{\partial \mathcal R}{\partial\textbf w}&=-\sum_{i=1}^N (y_i-\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x_i))\textbf x_i\\&= -X(\textbf y-\sigma(X^{\top}\textbf w))\\&= -X(\textbf y-\hat{\textbf y})\end{aligned}$$
可以很容易把这种批处理GD的形式改写成mini-batch SGD的形式。
不难看出，这个梯度形式和线性回归是一样的。（后面会知道，Softmax回归的梯度形式和它们也是一样的。）
这里顺便把二阶梯度也求一下，可以使用牛顿法或拟牛顿法来迭代求取参数：
$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial\textbf w}=-(y-\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x))\textbf x=\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x)\textbf x -y\textbf x$$
$$\begin{aligned}\frac{\partial^2\mathcal L}{\partial\textbf w^2}&=\frac{\partial(\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x)\textbf x -y\textbf x)}{\partial\textbf w}\\&=\frac{\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x)}{\partial\textbf w}\textbf x^{\top}\\&=\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x)(1-\sigma(\textbf w^{\top}\textbf x))\textbf x\textbf x^{\top}\\&=\hat y(1-\hat y)\textbf x\textbf x^{\top}\end{aligned}$$
$$\frac{\partial^2\mathcal R}{\partial\textbf w^2}=\sum_{i=1}^N\hat y_i(1-\hat y_i)\textbf x_i\textbf x_i^{\top}$$
（2）结构风险最小化：最大后验概率估计
如果将正则项加上，那就是用结构风险最小化的准则来学习参数，常用的有参数的 $L_1$ 范数（LASSO）和 $L_2$ 范数（Ridge）：
$$R_{\text{srm}}=R+\lambda\|\textbf w\|_1$$
$$R_{\text{srm}}=R+\lambda\|\textbf w\|_2^2$$
从梯度的形式来看，相比于不加正则的时候，变化量为
$$\frac{\partial \|\textbf w\|_1}{\partial w_j}=\frac{\partial \sum_{j=1}^d|w_j|}{\partial w_j}=1\text{ if }w_j>0\text{ else if }w_j<0\,-1$$
$$\frac{\partial \|\textbf w\|_2^2}{\partial w_j}=\frac{\partial \sum_{j=1}^d|w_j|^2}{\partial w_j}=2w_j$$
如果 $w_j$ 为正，那么新迭代点相比之前会减去一个正数而变小；如果 $w_j$ 为负，那么新迭代点相比之前会减去一个负数而变大。也就是说避免了特别大或者特别小的权重值出现，可以使权重的绝对值变小，从而避免过于依赖某些特征的情况，减轻过拟合。
加 $L_1$ 正则时会使某些维的参数变成0，这就是所谓的稀疏解，相当于进行了一个特征选择的过程；加 $L_2$ 正则时权重的绝对值会变小，起到平滑化的作用。更详细地可以参考[4]。
4. 贝叶斯角度
如果从贝叶斯估计的角度来说，正则项相当于加上了先验知识：加 $L_1$ 正则相当于是认为参数服从Laplace分布，加 $L_2$ 正则相当于是认为参数服从均值为0、协方差为 $\frac{1}{\lambda}$ 的高斯分布。此时，结构风险最小化等价于最大后验概率估计。具体可以参考[6][9]。
5. 与其他模型的关系
最显然的一个就是全连接的前馈神经网络就是多层Logistic回归模型（不知道为什么被叫成MLP，多层感知机）。其与朴素贝叶斯的联系可以看本系列博客第二篇。更详细地请参考 [7] ，后面有空的话会简单谈一点。
6. 并行
这里参考[7]。
（三）Softmax回归
Softmax回归可以用于多类分类问题，而不像Logistic回归等二分类模型那样需要借助One-vs-rest。设样本 $\textbf x_i$ 的真实类别标签 $y_i\in\{1,2,...,C\}$ ，one-hot向量为 $\textbf y_i=(0,0,...,0,1,0,...,0)^{\top}\in\mathbb R^C$ （只有真实类别的那一维是1）。
与Logistic回归类似，Softmax回归输出的是样本 $\textbf x_i$ 属于各个类别的后验概率的估计值 $P(y_i=c|\textbf x_i),c\in\{1,2,...,C\}$ ：
$$z_c=\textbf w_c^{\top}\textbf x_i$$
$$\begin{aligned}P(y_i=c|\textbf x_i)&=\text{softmax}(z_c)\\&=\frac{\exp(z_c)}{\sum_{j=1}^C\exp(z_j)}\\&=\frac{\exp(\textbf w_c^{\top}\textbf x_i)}{\sum_{j=1}^C\exp(\textbf w_j^{\top}\textbf x_i)},\quad c\in\{1,2,...,C\}\end{aligned}$$
将模型对一个样本 $(\textbf x_i,\textbf y_i)$ 的后验概率估计组成列向量
$$\hat{\textbf y}_i=(P(y_i=1|\textbf x),P(y_i=2|\textbf x),...,P(y_i=C|\textbf x))^{\top}\in\mathbb R^C$$
并将各个类别的权重向量 $\textbf w_c\in\mathbb R^d$ 组成权重矩阵 $W=(\textbf w_1,\textbf w_2,...,\textbf w_C)\in\mathbb R^{d\times C}$ ，可以写成如下形式：
$$\textbf z_i=(z_1,z_2,...,z_C)^{\top}=W^{\top}\textbf x_i$$
$$\begin{aligned}\hat{\textbf y}_i&=\text{softmax}(\textbf z_i)=\frac{\exp(\textbf z_i)}{\sum_{j=1}^C\exp(z_j)}\\&=\frac{\exp(W^{\top}\textbf x_i)}{\sum_{j=1}^C\exp(\textbf w_j^{\top}\textbf x)}=\frac{\exp(W^{\top}\textbf x_i)}{\textbf 1^{\top}\exp(W^{\top}\textbf x_i)}\\&=\frac{\exp(\textbf z_i)}{\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z_i)}\end{aligned}$$
使用交叉熵损失函数，模型对一个样本 $(\textbf x_i,\textbf y_i)$ 的损失为：
$$\mathcal L_i=-\textbf y_i^{\top}\ln\hat{\textbf y}_i=-\textbf y_i^{\top}\ln\text{softmax}(\textbf z_i)=-\textbf y_i^{\top}\ln\frac{\exp(\textbf z_i)}{\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z_i)}$$
所以经验风险（省略系数 $\dfrac1N$ ）为
$$\mathcal R=\sum_{i=1}^N\mathcal L_i=-\sum_{i=1}^N\biggl(\textbf y_i^{\top}\ln\text{softmax}(W^{\top}\textbf x_i)\biggr)$$
下面求取对一个样本 $(\textbf x_i,\textbf y_i)$ 的损失的梯度。先上结论：
$$\frac{\partial \mathcal L_i}{\partial\textbf w_c}=-[\textbf y_i-\hat{\textbf y}_i]_c\textbf x_i,\quad c\in\{1,2,...,C\}$$
$$\frac{\partial \mathcal L_i}{\partial W}=-\textbf x_i(\textbf y_i-\hat{\textbf y}_i)^{\top}$$
式中 $[\textbf y_i]_c$ 表示的是向量 $\textbf y_i$ 的第 $c$ 维元素的值。
经验风险的梯度依旧可以写成矩阵的形式：
$$\frac{\partial \mathcal R}{\partial W}=\sum_{i=1}^N\frac{\partial \mathcal L_i}{\partial W}=-X(Y-\hat Y)$$
其中 $Y\in\mathbb R^{N\times C}$ 是one-hot标签构成的矩阵，每一行都是一个样本的one-hot标签；$\hat Y$ 含义类似。
Softmax回归的 $\dfrac{\partial \mathcal L_i}{\partial\textbf w_c}$ 的形式和Logistic回归的 $\dfrac{\partial \mathcal L_i}{\partial\textbf w}$ 是一样的。
下面给出推导过程。
$\dfrac{\partial \mathcal L_i}{\partial\textbf w_c}$ 的求法有三种：
（1）普通方法，一步步推，可以参考我很早之前写的一篇讲word2vec的博客，我觉得写的还挺清楚的；
（2）[1] 中的方法，在第三章；
（3）[3] 中的方法，而且用这个方法可以直接把 $\dfrac{\partial \mathcal L_i}{\partial W}$ 求出来。
$\dfrac{\partial \mathcal L_i}{\partial W}$ 推导方式可以是用 $\dfrac{\partial \mathcal L_i}{\partial\textbf w_c}$ “拼”成对矩阵 $W$ 的梯度。下面使用 [3] 里面介绍的技巧，直接求对矩阵 $W$ 的梯度。
[3] 介绍的是这样形式的求导：已知矩阵 $X$ ，函数 $f(X)$ 的函数值为标量，求 $\dfrac{\partial f}{\partial X}$ 。一种典型的例子就是求取损失对权重矩阵的导数。
对于一元微积分，$\text{d}f=f'(x)\text{d}x$ ；多元微积分，$\text{d}f=\sum_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\text{d}x_i=(\dfrac{\partial f}{\partial \textbf x})^{\top}\text{d}\textbf x$；由此建立矩阵导数和微分的联系：
$$\text{d}f=\sum_{i,j}\frac{\partial f}{\partial X_{ij}}\text{d}X_{ij}=\text{tr}((\frac{\partial f}{\partial X})^{\top}\text{d}X)$$
上式第二个等号成立是因为对于两个同阶方阵有 $\text{tr}(A^{\top}B)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$ 。求解的流程就是，先求微分 $\text{d}f$ 表达式，然后再套上迹（因为标量的迹等于标量本身），然后再把表达式 $\text{tr}(\text{d}f)$ 和 $\text{tr}((\dfrac{\partial f}{\partial X})^{\top}\text{d}X)$ 进行比对，进而把 $\dfrac{\partial f}{\partial X}$ 给“挖”出来。
所以，问题就从求梯度转化成了求微分。求微分当然少不了很多法则和技巧，下面随着讲随着介绍。接下来就来求取Softmax回归中的 $\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial W}$ （样本序号 $i$ 被省略）。
首先求取 $\text{d}\mathcal L$ 。
$$\begin{aligned}\mathcal L&=-\textbf y^{\top}\ln\frac{\exp(\textbf z)}{\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)}\\&=-\textbf y^{\top}(\textbf z-\ln\begin{pmatrix}\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z) \\ \textbf 1^{\top}\exp(\textbf z) \\ \vdots \\ \textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)\end{pmatrix})\quad \textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)\text{是标量}\\&=\ln(\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z))-\textbf y^{\top}\textbf z\end{aligned}$$
根据法则 $\text{d}(g(X))=g'(X)\odot\text{d}X$ 、$\text{d}(XY)=(\text{d}X)Y+X(\text{d}Y)$，可得
$$\text{d}(\ln(\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)))=\frac{1}{\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)}\odot\text{d}(\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z))$$
$$\text{d}(\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z))=\textbf 1^{\top}\text{d}(\exp(\textbf z))=\textbf 1^{\top}(\exp(\textbf z)\odot\text{d}\textbf z)$$
所以
$$\text{d}\mathcal L=\frac{\textbf 1^{\top}(\exp(\textbf z)\odot\text{d}\textbf z)}{\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)}-\textbf y^{\top}\text{d}\textbf z$$
现在可以套上迹，根据恒等式 $\text{tr}(A^{\top}(B\odot C))=\text{tr}((A\odot B)^{\top}C)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$ ，可得
$$\begin{aligned}\text{d}\mathcal L&=\text{tr}(\frac{(\textbf 1\odot \exp(\textbf z))^{\top}\text{d}\textbf z}{\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)})-\text{tr}(\textbf y^{\top}\text{d}\textbf z)\\&=\text{tr}(\biggl(\frac{(\exp(\textbf z))^{\top}}{\textbf 1^{\top}\exp(\textbf z)}-\textbf y^{\top}\biggr)\text{d}\textbf z)\\&=\text{tr}((\hat{\textbf y}-\textbf y)^{\top}\text{d}\textbf z)\\&=\text{tr}((\frac{\partial L}{\partial\textbf z})^{\top}\text{d}\textbf z)\end{aligned}$$
现在已经成功了一半，因为已经有了 $\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial\textbf z}$ 。因为
$$\text{d}\textbf z=\text{d}(W^{\top}\textbf x)=(\text{d}W^{\top})\textbf x+W^{\top}\text{d}\textbf x=(\text{d}W^{\top})\textbf x$$
并且 $\text{tr}(ABC)=\text{tr}(BCA)=\text{tr}(CAB)$ ，所以有
$$\begin{aligned}\text{d}\mathcal L&=\text{tr}((\frac{\partial L}{\partial\textbf z})^{\top}(\text{d}W^{\top})\textbf x)\\&=\text{tr}(\textbf x(\frac{\partial L}{\partial\textbf z})^{\top}\text{d}W^{\top})\\&=\text{tr}((\frac{\partial L}{\partial W^{\top}})^{\top}\text{d}W^{\top})\end{aligned}$$
也就是说，$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial W^{\top}}=\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial\textbf z}\textbf x^{\top}=(\hat{\textbf y}-\textbf y)\textbf x^{\top}$，所以
$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial W}=-\textbf x(\textbf y-\hat{\textbf y})^{\top}$$
（四）广义线性模型
其实上面介绍的三种模型，都属于广义线性模型（Generalized linear model，GLM）。
1. 指数族分布
说到GLM，就不得不说指数族分布。设有一随机变量 $Y$ ，观测值为 $y$ ，那么指数族分布（Exponential family distributions）的 PDF／PMF 为如下函数：
$$p(y;\boldsymbol\eta)=b(y)\exp(\boldsymbol\eta^{\top}T(y)-a(\boldsymbol\eta))$$
式中，$\boldsymbol\eta$ 被称为nature parameter或canonical parameter，$T(y)$ 是充分统计量（通常设 $T(y)=y$ ），$a(\boldsymbol\eta)$ 是log partition function，$\exp(-a(\boldsymbol\eta))$ 用来保证PDF的积分为1（或PMF的加和为1）。把随机变量服从指数族分布记为 $ Y\sim ExponentialFamily(\boldsymbol\eta)$ 。伯努利分布（两点分布）、高斯分布、多项式分布、泊松分布、指数分布、伽马分布、贝塔分布、狄利克雷分布、维希特分布……等等都属于指数族分布。
通过选取不同的 $\boldsymbol\eta$ ，可以得到不同的分布：
例如，对于参数为 $\phi$ 两点分布，其PMF为
$$P(y;\phi)=\phi^y(1-\phi)^{1-y}=\exp(y\ln(\frac{\phi}{1-\phi})+\ln(1-\phi))$$
所以
$$\phi=\frac{1}{1+\exp(-\eta)}$$
这正是logistic函数。
再比如参数为均值 $\mu$ 、方差1的高斯分布，其PDF为
$$p(y;\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac12(y-\mu)^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac12y^2)\exp(\mu y-\frac12\mu^2)$$
所以
$$\mu=\eta$$
2. 广义线性模型
通过指数族分布，可以构建广义线性模型。设模型的参数为 $\boldsymbol\theta$ ，对于记 $X$ 、$Y$ 分别是代表特征和标签的随机变量，观测值为 $\textbf x$ 、$y$ 。首先假定如下三点：
1. 条件分布服从指数族分布，即 $Y|X;\boldsymbol\theta\sim ExponentialFamily(\boldsymbol\eta)$ 。例如，
2. 给定特征 $\textbf x$ ，目标是预测 $E[T(y)|\textbf x]$ 。因为通常设 $T(y)=y$ ，所以目标就是预测 $E[y|\textbf x]$ 。
实际上，就相当于对模型输出值进行预测。用Logistic回归举例：模型输出值为 $P(y=1|\textbf x)$ ，随机变量 $Y$ 服从两点分布（只可能取0、1两个值），所以 $E[y|\textbf x;\boldsymbol\theta]=0\times P(y=0|\textbf x)+1\times P(y=1|\textbf x)=P(y=1|\textbf x)$
3. 指数族分布的参数 $\boldsymbol\eta$ 和给定特征 $\textbf x$ 的关系为线性：$\boldsymbol\eta=\boldsymbol\theta^{\top}\textbf x$
下面可以开始利用不同的 $\boldsymbol\eta$ 来构建GLM。
（1）线性回归
对于第一个假设，设指数族分布是参数为 $\mu$ 的高斯分布，即 $\mu=\eta$ ；那么对于第二个假设，可知模型输出值为 $\mu$ ，结合第一个假设可知模型输出值为 $\eta$ ；根据第三个假设 $\boldsymbol\eta=\boldsymbol\theta^{\top}\textbf x$ ，可知模型输出值为 $\boldsymbol\theta^{\top}\textbf x$ 。这就推导出了线性回归模型。
（2）Logistic回归
对于第一个假设，设指数族分布是参数为 $\phi$ 的伯努利分布，即 $\phi=\frac{1}{1+\exp(-\eta)}$ ；那么对于第二个假设，因为伯努利分布的期望为 $\phi$ ，可知模型输出值为 $\phi$ ；根据第三个假设 $\boldsymbol\eta=\boldsymbol\theta^{\top}\textbf x$ ，可知模型输出值为 $\phi=\frac{1}{1+\exp(-\boldsymbol\theta^{\top}\textbf x)}$ 。这就推导出了Logistic回归模型。
（3）Softmax回归
相应的指数族分布是多项式分布，代表标签的是一个随机向量 $\boldsymbol Y$ 。详细的推导这里就不赘述了，可以参考 [5] 的最后一部分。
参考资料：
[1] 《神经网络与深度学习讲义》
[2] 《统计学习方法》
[3] 《矩阵求导术（上）》
[5] CS229 Lecture Notes1、Lecture6 slides
[6] Regularized Regression: A Bayesian point of view
[7] 浅析Logistic Regression （写的比我这篇真的好太多了。。。）
[8] Matrix_calculus
[9] https://www.evernote.com/shard/s146/sh/bf0d0a08-d5c5-4dc9-b70f-fa6374b9ceae/14e34bc9e8e518b1a5cc17fc585d75fc
