证明:gcd(m,n)=gcd(n mod m,m)成立,m,n为正整数,m>0.
证明:gcd(m,n)=gcd(n mod m,m)成立,m,n为正整数,m>0.
证明:
1)1个常识:
如果 a≥b 并且 b≤a,那么 a=b.
2个前提:
1)只在非负整数范围内讨论两个数 m 和 n 的最大公约数,即 m, n ∈ N.
2)0可以被任何数整除,但是0不能整除任何数,即 ∀x(x|0) and ∀x(0| x).
2)1个引理:
假设 k|a, k|b,则对任意的 x,y ∈ Z, k|(xa+yb)均成立.
证明:
k|a => a=pk, k|b => b==qk (其中 p,q ∈ Z)
于是有 xa+yb=xpk+yqk=(xp+yq)k
因为 k|(xp+yq)k, 所以 k|(xa+yb) // 此处表示(xa+yb) 被k整除。
3)gcd的Euclid算法证明:
命题:对任意 m, n ∈ N,证明gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)
证明:
令 k=gcd(m,n),则 k|m 并且 k|n;
令 j=gcd(n, m mod n), 则j|n 并且 j|(m mod n);
对于m, 可以用n 表示为 m=pn+(m mod n);
由引理可知 j|m(其中 x=p,y=1), 又 j|n,于是 j 是 m 和 n 的公约数(但不一定是最大的);
因为 k 是 m 和 n 的最大公约数,所以必有 k≥j;
通过另一种表示形式:(m mod n)=m-pn,同理可得:
k|(m mod n),又k|n,于是 k 是 (m mod n) 和 n 的公约数(也不一定是最大的);
同样由 j 是 n 和 (m mod n) 的最大公约数可以得到 j≥k;
由常识,得出结论 k=j,
即gcd(m,n) = gcd(n, m mod n) ,得证。
//思路:
先预证明k是m,m mod n 的公约数, 再证明j是m,n的公约数,最后由 k≥j和 j≥k得知k= j,又因为k,j本来就是gcd(),所以gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)证明完毕。
//第一步:
先证明k>=j,怎么证明呢?由条件k=gcd(m,n)可知k已经是n,m的最大公约数!所以找一个比k小的约数不就好了吗!下面证明n,m的一个公约数:
由j=gcd(n, m mod n)可知j|n 并且 j|(m mod n) :既表示n被j整除,(m mod n)被j整除。
所以找到一个n的约数是 j,再找到m的约数为 j即可。
由条件知m=pn+(m mod n);(为什么m=pn+(m mod n)?因为(m mod n)可以表示成m=pn+(m mod n),m mod n表示m对n整除后的余数。)
再由j=gcd(n, m mod n)可知:n和(m mod n)均被j整除,就是说n和(m mod n)有一个公约数是j。所以由整除的结合律(引理)得 : pn+(m mod n) 可以提出一个公约数j, 所以m必定被j整除。既m的约数为j。
其中m=pn+(m mod n) 表示p倍的n加上1倍的(m mod n) =m,p为任意整数,1本来就是整数。所以m必定被j整除。
到此可知:n,m的一个公约数是j,因为 k=gcd(m,n),所以k>=j。第一步证明完毕。
// 第二步:证明j>=k即可。
由条件 k|n可知:n有一个约数为k;再找到 m mod n 的约数也为 k即可。
m mod n =m-qn;(其中p,q均为整数),又因为k=gcd(m,n):m,n的公约数是k(最大的),由整除的结合律可知:m mod n 被k整除,即找到了m mod n 的一个约数为k。
再由j=gcd(n, m mod n)所以j>=k;第二步证明完毕。
// 第三步:下结论
由于 k>=j,j>=k; 由常识可知k=j。再由k=gcd(m,n) 且 j= gcd(n, m mod n),故gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)。证明完毕!
这个是我之前CSDN的文章,摘取过来。