NOIP提高组初赛问题求解第一弹--2007

1、给定n 个有标号的球，标号依次为1，2，…，n。将这n 个球放入r 个相同的盒子里，不允许 有空盒，其不同放置方法的总数记为S(n,r)。例如，S(4,2)=7，这7 种不同的放置方法依次为 {(1),(234)}, {(2),(134)}, {(3),(124)}, {(4),(123)}, {(12),(34)}, {(13),(24)}, {(14),(23)}。当n=7,r=4 时，S(7,4)= _____________。

 

解答：

有两种方法。

1、因为球可以分成(4,1,1,1)和(3,2,1,1)和(2,2,2,1)三种，所以我们可以进行分类讨论。

      当分成(4,1,1,1)时，有C(4,7)种=35

      当分成(3,2,1,1)时，有C(3,7)*C(2,4)种=210

      当分成(2,2,2,1)时，有C(2,7)*C(2,5)*C(2,3)/3!种=105。这里/3!的原因是2,2,2的分法可能会出现重复。

      所以一共有35+210+105=350种

2、使用递推公式S(n,r)=S(n-1,r)*r+S(n-1,r-1)

      因为将n个球放入r个相同的盒子里，所以最后一个球有两种放法：

      1、相当于把前n-1个球放好，然后放最后一个，所以是S(n-1,r)*r种

      2、相当于把最后一个球独立放一个盒子，所以是S(n-1,r-1)种

      所以，公式为S(n,r)=S(n-1,r)*r+S(n-1,r-1)

不过我个人认为比赛时还是第一种方法比较好。

 

N 个人在操场里围成一圈，将这N 个人按顺时针方向从1 到N 编号，然后，从第一个人起，每 隔一个人让下一个人离开操场，显然，第一轮过后，具有偶数编号的人都离开了操场。依次做下去，直 到操场只剩下一个人，记这个人的编号为J(N) ，例如，J(5)=3 ，J(10)=5 ，等等。则 J(400)=______________。（提示：对N=2m+r 进行分析，其中0≤r<2m ）。

 

解答：

结论题。证明如下：

我们可以发现因为第一轮离开操场的一定是偶数，所以我们可以表示为2x+0,2(x+1)+0,2(x+2)+0···

我们可以发现第二轮离开操场的一定可以这样表示，4x+1,4x+3,4(x+1)+1,4(x+1)+3···

以此类推我们可以发现第k轮离开操场的一定可以这样表示，2^k*x+1,2^k*x+3,2^k*x+5,2^k*x+7···2^k*(x+1)+1,2^k*(x+1)+3,2^k*(x+1)+5,2^k*(x+1)+7···

所以我们发现如果N=2^k+x，则J[N]=2x+1。

所以400=2^8+144，则J[N]=2*144+1=289。