【BZOJ-2756】奇怪的游戏 最大流 + 分类讨论 + 二分

2756: [SCOI2012]奇怪的游戏

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Description

Blinker最近喜欢上一个奇怪的游戏。 
这个游戏在一个 N*M 的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次 Blinker 会选择两个相邻的格子，并使这两个数都加上 1。 
现在 Blinker 想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同一个数则输出-1。 

Input

输入的第一行是一个整数T，表示输入数据有T轮游戏组成。 
每轮游戏的第一行有两个整数N和M， 分别代表棋盘的行数和列数。 
接下来有N行，每行 M个数。 

Output

  对于每个游戏输出最少能使游戏结束的次数，如果永远不能变成同一个数则输出-1。

Sample Input

2
2 2
1 2
2 3
3 3
1 2 3
2 3 4
4 3 2

Sample Output

2
-1

HINT

【数据范围】 
对于30%的数据，保证  T<=10，1<=N,M<=8 
对于100%的数据，保证  T<=10，1<=N,M<=40，所有数为正整数且小于1000000000 

Source

Solution

一道比较有趣的题目

先对题目进行分析：

首先我们考虑对棋盘黑白染色，那么我们发现：“每次相邻两个+1”，显然是一黑一白+1

那么我们先统计出WhiteNum，BlackNum（黑白点的数目），WhiteSum，BlackSum（黑白点初始权值和）

那么对于一次增加，显然是WhiteSum+1,BlackSum+1

考虑对最后的情况进行讨论：

那么很显然，当WhiteNum==BlackNum时（即总点数为偶数）

如果WhiteSum！=BlackSum，显然无解

如果WhiteSum==BlackSum时，我们发现，对于X如果成立，那么X+1一定成立，显然满足二分的性质，那么二分这个值，进行判定

当WhiteNum!=BlackNum时（即总点数为奇数）

发现显然，若有解，则解唯一，那么直接验证正确性即可

至于解怎么求？

那么假设我们知道最后值为X，那么显然可以得到$X*WhiteNum-WhiteSum=X*BlackNum-BlackSum$

移项后显然可以化减出$X=\frac{BlackSum-WhiteSum}{BlackNum-WhiteNum}$

那么考虑建图：

S-->白点，约束为X-val[i][j]

黑点-->T，约束为X-val[i][j]

相邻的白点-->黑点，约束为INF

判断是否满流即可

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXM 1001000
#define MAXN 2010
int Cas,N,M,Mat[50][50];
struct EdgeNode{int next,to;long long cap;}edge[MAXM];
int head[MAXN],cnt=1;
void AddEdge(int u,int v,long long w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].cap=w;}
void InsertEdge(int u,int v,long long w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,0);}
long long dis[MAXN];int que[MAXN<<1],cur[MAXN],S,T;
bool bfs()
{
    for (int i=S; i<=T; i++) dis[i]=-1;
    que[0]=S; dis[S]=0; int he=0,ta=1;
    while (he<ta)
        {
            int now=que[he++];
            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
                if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==-1)
                    dis[edge[i].to]=dis[now]+1,que[ta++]=edge[i].to;
        }
    return dis[T]!=-1;
}
long long dfs(int loc,long long low)
{
    if (loc==T) return low;
    long long w,used=0;
    for (int i=cur[loc]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==dis[loc]+1)
            {
                w=dfs(edge[i].to,min(low-used,edge[i].cap));
                edge[i].cap-=w; edge[i^1].cap+=w;
                used+=w; if (edge[i].cap) cur[loc]=i;
                if (used==low) return low;
            }
    if (!used) dis[loc]=-1;
    return used;
}
#define INF 1LL<<60
long long dinic()
{
    long long tmp=0;
    while (bfs())
        {
            for (int i=S; i<=T; i++) cur[i]=head[i];
            tmp+=dfs(S,INF);
        }
    return tmp;
}
void init() {cnt=1; memset(head,0,sizeof(head));}
int col[50][50],id[50][50],ID;
bool OK(int x,int y) {return (x>=1 && x<=N) && (y>=1 && y<=M);}
bool Check(long long X)
{
    long long Tot=0;
    init();
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
            if (col[i][j])
                {
                    InsertEdge(S,id[i][j],X-Mat[i][j]);
                    Tot+=X-Mat[i][j];
                    if (OK(i-1,j)) InsertEdge(id[i][j],id[i-1][j],INF);
                    if (OK(i+1,j)) InsertEdge(id[i][j],id[i+1][j],INF);
                    if (OK(i,j-1)) InsertEdge(id[i][j],id[i][j-1],INF);
                    if (OK(i,j+1)) InsertEdge(id[i][j],id[i][j+1],INF);
                }
            else
                InsertEdge(id[i][j],T,X-Mat[i][j]);
    long long MaxFlow=dinic();
    return Tot==MaxFlow;
}
long long Wn,Ws,Bn,Bs;
void BuildGraph()
{
    S=0; T=N*M+1;
    Wn=Bn=Ws=Bs=0; ID=0; int maxx=0;
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
            col[i][j]=(i+j)&1,id[i][j]=++ID,maxx=max(maxx,Mat[i][j]);
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
            if (col[i][j]) Wn++,Ws+=Mat[i][j]; else Bn++,Bs+=Mat[i][j];
    if (Wn==Bn && Ws!=Bs) {puts("-1"); return;} 
    if (Wn==Bn)
        {
            long long l=maxx,r=(1LL<<50);
            while (l<=r)
                {
                    long long mid=(l+r)>>1;
                    if (Check(mid)) r=mid-1; else l=mid+1;
                }
            printf("%lld\n",l*Wn-Ws);
        }
    else 
        {
            long long X=(Bs-Ws)/(Bn-Wn);
            if (X<maxx) {puts("-1"); return;}
            if (Check(X)) printf("%lld\n",X*Wn-Ws); else puts("-1");
        }
}
int main()
{
    Cas=read();
    while (Cas--)
        {
            N=read(),M=read();
            for (int i=1; i<=N; i++)
                for (int j=1; j<=M; j++)
                    Mat[i][j]=read();
            BuildGraph();
        }
    return 0;
}

初学网络流时做的.....当时小号好像WA，TLE的非常惨.....然后大号居然一直忘交了......

然而我但是傻傻的只会单路增广，还幼稚的说BZOJ有毒，正解TLE.....